마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
①a=−2, b=5/4, a+b=−3/4
근호가 +∞ 로 가니 ax 가 −∞ 로 가야 함에서 a 의 부호를 읽으세요 a≥0 이면 √ 와 ax 가 함께 커져 발산한다.개념 카드 · ∞−∞꼴 미정계수 「극한 존재 ⇒ a 의 부호, 유리화 후 x 항 계수=0」
x→∞ 에서 √(4x²+5x+1) 은 +∞ 로 커진다. 해설 STEP A 처럼 a≥0 이면 ax 도 함께 커져 합이 ∞ 로 발산하므로 극한값 b 가 존재할 수 없다. 그래서 a<0 이 먼저 정해진다. 이 부호 조건은 나중에 a²=4 에서 a 를 하나로 고를 때 다시 쓰인다.◀ √ 와 ax 가 같은 쪽이면 발산, a<0
해설 STEP B 처럼 위아래에 √(4x²+5x+1)−ax 를 곱하면 분자가 (4−a²)x²+5x+1 로 정리된다. 분모·분자를 x 로 나누면 분자에 (4−a²)x 가 남는다. 분모는 2−a 로 가서 유한하므로, 극한값 b 가 존재하려면 분자의 일차항 계수가 0, 즉 4−a²=0 이어야 한다(해설의 분홍 줄 ㉠).◀ x 로 나눈 뒤 남는 x 항 계수는 0
㉠ 에서 a²=4 인데 STEP A 의 a<0 때문에 a=−2 만 남는다. 남은 상수 부분 ㉡ 은 5/(2−a)=b 이므로 a=−2 를 넣으면 b=5/4. STEP C 처럼 a+b=−2+5/4=−3/4, 답은 ①. 부호 조건 없이 a=2 를 고르면 분모 2−a 가 0 이 되어 식 자체가 무너진다.◀ 부호로 a 고르고 ㉡ 에 넣어 b
발상의 출발점a, b 두 미지수에 조건은 극한식 하나다. 그래도 풀리는 것은 ‘극한값이 존재한다’ 는 말이 두 가지 일을 하기 때문이다. 먼저 √ 와 ax 가 같은 방향으로 커지면 발산하므로 a 의 부호가 정해지고, 유리화한 뒤에는 분자의 x 항이 사라져야 하므로 a² 이 정해진다. 부호와 a² 을 합치면 a 가 하나로 정해지고, 남은 상수 부분이 곧 b 다.
실수 포인트 ①a²=4 에서 a=2 를 고르는 실수. a≥0 이면 √ 와 ax 가 모두 +∞ 로 가서 발산하므로 STEP A 의 a<0 을 적용해 a=−2 만 남긴다 → b=5/4
실수 포인트 ②유리화할 때 켤레를 √(4x²+5x+1)+ax 로 곱해 식이 더 복잡해지는 실수. 더하기 꼴이므로 켤레는 √(4x²+5x+1)−ax 이고, 그래야 분자가 (4−a²)x²+5x+1 로 정리된다 → x 로 나누기
실수 포인트 ③분모 √(4+5/x+1/x²)−a 의 극한을 2+a 로 쓰는 실수. 분모는 2−a 이고 a=−2 를 넣으면 4 이므로 b=5/4 다 → a+b=−3/4, ①
정답 ① (a=−2, b=5/4, a+b=−3/4)
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