마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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BASIC01-1 함수의 극한 치환을 이용한 극한값의 계산
31+2=3
괄호 안 x−1, −x 가 어느 쪽에서 다가가는지 먼저 보세요 부호가 바뀌는 치환은 좌·우 방향도 뒤집힌다.개념 카드 · 치환을 이용한 극한값의 계산 「괄호 안 = t, x의 방향 → t의 방향으로 옮긴다」
해설 STEP A를 보면 x−1=t로 놓고, x가 0의 오른쪽에서 0으로 다가갈 때 t=x−1은 −1의 오른쪽에서 −1로 다가간다. 그러면 limx→0+f(x−1)=limt→−1+f(t)가 되어 그래프에서 x=−1의 오른쪽 조각을 읽으면 된다. 오른쪽에서 오는 곡선은 빈 점 (−1, 1)로 향하므로 값은 1이다. 채워진 점 (−1, 0)은 함숫값이지 극한이 아니다.◀ 괄호 안 = 새 문자, 방향도 함께 옮긴다
해설 STEP B를 보면 −x=s로 놓고 x가 −1보다 작은 쪽에서 −1로 다가가면 s=−x는 1보다 큰 쪽에서 1로 다가간다. 부호를 바꾸면 좌·우가 뒤집히는 것이 이 문제의 함정이다. 그래서 limx→−1−f(−x)=lims→1+f(s)이고, 그래프에서 x=1의 오른쪽 조각은 채워진 점 (1, 2)에서 출발하는 직선이므로 값은 2다.◀ −x 치환은 좌·우가 바뀐다, −1− → 1+
해설 STEP C처럼 두 값을 더하면 1+2=3이다. 다른 풀이는 치환 대신 그래프를 움직인다. y=f(x−1)은 f의 그래프를 x축 방향으로 1만큼 평행이동한 것이라 x→0+에서 1을 읽고, y=f(−x)는 y축 대칭이라 x→−1−에서 2를 읽는다. 어느 쪽이든 읽는 값은 같으니 자기에게 편한 방법 하나를 고정하라.◀ 1+2=3, 치환이든 이동이든 답은 같다
발상의 출발점겉은 f(x−1), f(−x)라 낯설지만 괄호 안을 새 문자 t, s로 놓으면 결국 y=f(x) 그래프에서 x=−1, x=1의 한쪽 극한을 읽는 문제로 돌아온다. 핵심은 새 문자가 어느 값으로, 어느 쪽에서 다가가는지 정하는 것이며, 특히 −x처럼 부호가 바뀌는 치환은 좌·우가 뒤집힌다. 해설 STEP A·B가 치환, STEP C가 합이고, 다른 풀이는 평행이동·대칭이동으로 같은 값을 읽는다.
실수 포인트 ①limx→0+f(x−1)을 x=0 근처의 값으로 읽는 실수. x−1=t로 치환하면 t→−1+이므로 x=−1의 오른쪽 조각을 읽어야 한다 → 1
실수 포인트 ②−x=s 치환에서 x→−1−를 그대로 s→1−로 옮기는 실수. 부호가 바뀌면 방향도 바뀌어 s→1+다. 왼쪽 조각을 읽으면 1이 되어 답이 2로 틀린다 → 오른쪽 조각 2
실수 포인트 ③채워진 점 (−1, 0), (1, 2)의 함숫값을 극한값으로 착각하는 실수. 극한은 다가가는 높이이므로 t→−1+는 빈 점 (−1, 1)의 높이 1이고, s→1+는 마침 채워진 점에서 출발해 2다 → 1+2=3
정답 3 (1+2=3)
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아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중