마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 절댓값 기호를 포함한 함수의 극한
①1/6, α=−2, β=2
α, β 부터 필요하니 2의 좌우로 |x−2|를 벗겨 보세요 α, β를 넣은 뒤는 0/0 꼴 인수분해 극한이다.개념 카드 · 절댓값 기호를 포함한 함수의 극한 「좌우로 벗긴 α, β → x³−β³=(x−β)(x²+βx+β²)」
해설 STEP A를 보면 x가 2보다 작을 때 |x−2|=−(x−2)이므로 f(x)=x(x−2)/{−(x−2)}=−x가 되어 좌극한 α=−2다. x>2일 때는 |x−2|=x−2라 f(x)=x가 되어 우극한 β=2다. 분자 x²−2x=x(x−2)로 인수분해해 (x−2)를 약분하면 남는 것은 부호뿐이다. 이 문제는 α, β를 구하는 것이 절반이다.◀ 왼쪽은 −x, 오른쪽은 x, 그래서 α=−2, β=2
해설 STEP B처럼 구한 값을 넣으면 limx→2(x²−2x)/(x³−8)이 되고, 2를 넣으면 분자·분모가 모두 0인 0/0 꼴이다. 분자는 x(x−2), 분모는 x³−2³=(x−2)(x²+2x+4)로 인수분해하면 공통인수 (x−2)가 보인다. 세제곱 차 공식 a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)를 꺼내는 지점이다.◀ x³−8=(x−2)(x²+2x+4), 세제곱 차 공식
해설 STEP B의 마지막을 보면 (x−2)를 약분하면 x/(x²+2x+4)가 남고, 2를 넣으면 2/(4+4+4)=2/12=1/6이다. 분모 x²+2x+4에 2를 넣을 때 세 항을 모두 더해 12가 되는지 확인하라. 답은 ①.◀ 약분 → 대입, 2/12=1/6
발상의 출발점문제는 두 단계다. 앞부분은 절댓값 분모 |x−2|를 2의 좌우에서 다른 부호로 벗겨 좌극한 α=−2, 우극한 β=2를 얻는 절댓값 극한이고, 뒷부분은 그 값을 넣은 (x²+αx)/(x³−β³)의 x→β 극한을 0/0 꼴로 처리하는 인수분해 극한이다. 분자 x(x−2)와 분모 (x−2)(x²+2x+4)의 공통인수 (x−2)를 약분해 2를 넣으면 1/6이다. 해설 STEP A가 α, β를, STEP B가 최종 극한을 맡는다.
실수 포인트 ①좌극한에서 |x−2|를 x−2로 벗겨 α=2로 두는 실수. x→2−는 x가 2보다 작은 쪽이므로 |x−2|=−(x−2)이고 f(x)=−x가 되어 α=−2다 → α=−2, β=2
실수 포인트 ②x³−β³=x³−8을 (x−2)³이나 (x−2)(x²+4)로 잘못 인수분해하는 실수. 세제곱 차 공식으로 (x−2)(x²+2x+4)다 → 약분 뒤 x/(x²+2x+4)
실수 포인트 ③약분 뒤 x²+2x+4에 2를 넣어 4+4=8이나 2²+2=6으로 셈하는 실수. 세 항 4+4+4=12이므로 2/12=1/6이다 → 답 ①
정답 ① (1/6, α=−2, β=2)
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