“
연속적인 대칭이동 후, 직선이 원의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y축에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 y=x에 대해 대칭이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
3. 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심 좌표를 찾습니다.
4. 중심의 좌표를 1단계에서 구한 최종 직선의 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동의 순서를 정확히 지키고, 넓이 이등분 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
연속 대칭이동 후 원의 넓이 이등분
“
대칭이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 x-2y=9를 y=x에 대해 대칭이동하여 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 새로운 직선이 주어진 원에 접하므로, **원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름과 같아야** 합니다.
3. 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심과 반지름을 찾습니다.
4. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세우고, 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동과 원의 접선 조건(d=r)이 결합된 유형입니다. 각 개념을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
대칭이동한 직선이 원에 접할 조건
“
대칭이동한 직선이 다른 직선과 만나지 않을(평행할) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선 y=ax+b가 점 (2,1)을 지나므로, 대입하여 a와 b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. 이 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y 대입)
3. 대칭이동한 직선이 2x-y+6=0과 만나지 않으므로, 두 직선은 **평행**합니다. 즉, 기울기가 같아야 합니다.
4. 이 기울기 조건을 통해 a값을 확정하고, 1단계의 관계식을 이용해 b값도 구합니다.
주의할 점:
평행 조건(기울기는 같고 y절편은 다르다)을 정확히 적용해야 합니다. 이 문제에서는 y절편이 다름이 자명하므로 기울기만 비교하면 됩니다.
”
대칭이동 후 평행(만나지 않을) 조건
“
두 직선이 직선 y=x에 대하여 서로 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 직선(예: 첫 번째 직선)을 y=x에 대해 대칭이동 시킵니다. (x와 y를 바꿈)
2. 이 대칭이동된 직선이 다른 한 직선과 완전히 일치해야 합니다.
3. 두 직선의 방정식이 일치할 조건, 즉 계수의 비가 모두 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 연립하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
두 도형이 y=x 대칭이라는 것은, 하나를 y=x 대칭시켰을 때 다른 하나와 겹쳐진다는 의미입니다.
”
두 직선이 y=x에 대해 대칭일 조건
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한 직선을 연속적으로 대칭이동했을 때, 원래 점을 다시 지나도록 하는 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,-3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
3. 2단계에서 얻은 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
4. 최종적으로 얻은 이 직선이 다시 점 A(4,-3)을 지나야 하므로, 좌표를 대입하여 m에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
대칭이동을 순서대로 정확하게 적용하고, 최종 방정식에 원래 점을 다시 대입하는 흐름을 따라가야 합니다.
”
연속 대칭이동 후 원래 점을 지날 조건
“
직선의 대칭이동과 수직 조건을 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x+6을 직선 y=x에 대하여 대칭이동합니다. (x와 y를 서로 바꿈)
2. 1단계에서 구한 대칭이동된 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다. (기울기 곱 = -1)
3. 2단계에서 구한 기울기를 가지고 점 (2,3)을 지나는 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 방정식을 y=ax+b 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
y=x에 대한 대칭이동은 x와 y의 역할을 바꾸는 것입니다. 대칭이동된 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 정확히 구해야 합니다.
”
직선의 대칭이동과 수직 조건
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원 위의 점, 대칭이동, 수직인 직선 등 여러 조건이 복합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 두 점 A₁, A₂의 y좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 A₁B와 수직인 직선은 B를 지나고, 마찬가지로 A₂B와 수직인 직선도 B를 지납니다. 이 수직인 두 직선이 원과 만나는 점이 C₁, C₂입니다.
3. 기하학적으로, A₁BC₁과 A₂BC₂는 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 됩니다. 따라서 A₁C₁과 A₂C₂는 모두 원의 지름입니다.
4. 이는 점 C₁, C₂가 각각 A₁, A₂를 **원점에 대해 대칭이동**한 점임을 의미합니다.
5. A₁, A₂의 좌표를 이용해 C₁, C₂의 좌표를 구하고, 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.
주의할 점:
수직 조건과 원의 성질을 결합하여, ‘지름에 대한 원주각은 90도’임을 파악하고, 최종적으로 원점 대칭 관계임을 추론하는 과정이 핵심입니다.
”
원 위의 점, 대칭이동, 수직 조건 종합
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두 직선의 수직 조건과 두 점의 y=x 대칭 조건을 모두 만족하는 점들의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 두 직선 OA와 OB가 수직이므로, 기울기의 곱이 -1입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. (나) 조건: 점 B와 C는 y=x에 대해 대칭이므로, 점 C의 좌표는 점 B의 좌표의 x, y를 바꾼 것과 같습니다.
3. 이제 두 점 A와 C의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 y절편을 찾습니다.
주의할 점:
두 가지 조건을 순서대로 적용하여 모든 미지수의 값을 결정하는 문제입니다. 각 조건이 어떤 기하학적, 대수적 의미를 갖는지 정확히 해석해야 합니다.
”
수직 조건과 y=x 대칭 조건
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내분점을 구하고, 그 점을 대칭이동하여 만들어진 삼각형의 무게중심을 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
2. 두 점 A, B를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 점 P를 x축, y축에 대해 각각 대칭이동한 점 Q, R의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 점 P, Q, R의 좌표를 모두 알았으므로, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심을 구합니다.
주의할 점:
절편, 내분점, 대칭이동, 무게중심 등 여러 단원의 기본 개념을 순차적으로 정확하게 적용해야 하는 문제입니다.
”
내분점, 대칭이동, 무게중심 종합
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대칭이동의 순서를 정확히 따라 점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1, a)를 y=x에 대해 대칭이동한 점 A의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점 A를 y축에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 점의 좌표가 (2,b)와 같다고 놓고, x, y좌표를 각각 비교하여 a와 b의 값을 찾습니다.
주의할 점:
각 대칭이동의 규칙을 정확히 적용하고, 이동 순서를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
대칭이동의 순서와 최종 좌표
