098 이차방정식 실근의 부호: 판별식과 합, 곱으로 판정하기! ➕➖
안녕하세요, 방정식의 숨은 의미를 찾는 탐험가 친구들! 👋 이차방정식의 근이 실수인지 허수인지, 또는 중근인지는 판별식으로 알 수 있었죠? 오늘은 한 걸음 더 나아가, 이차방정식이 실근을 가질 때, 그 실근들의 부호(양수인지, 음수인지, 아니면 서로 다른 부호인지)를 어떻게 판별할 수 있는지 알아볼 거예요. 이 역시 근을 직접 구하지 않고도 판별식과 근과 계수의 관계(두 근의 합, 두 근의 곱)를 이용하면 멋지게 해결할 수 있답니다! 마치 탐정이 여러 단서를 조합해 사건의 전말을 밝혀내듯 말이죠! 🕵️♂️
📝 핵심만정리: 실근의 부호, 세 가지 조건으로 판별!
계수가 실수인 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 실근을 α, β라고 하고, 판별식을 D = b2 – 4ac라고 할 때, 두 실근의 부호는 다음 세 가지 조건을 조합하여 판별해요.
- 두 근이 모두 양수일 조건 (α > 0, β > 0):
- (i) 판별식 D ≥ 0 (실근을 가져야 하므로)
- (ii) 두 근의 합 α + β = –b⁄a > 0 (양수+양수=양수)
- (iii) 두 근의 곱 αβ = c⁄a > 0 (양수×양수=양수)
- 두 근이 모두 음수일 조건 (α < 0, β < 0):
- (i) 판별식 D ≥ 0 (실근을 가져야 하므로)
- (ii) 두 근의 합 α + β = –b⁄a < 0 (음수+음수=음수)
- (iii) 두 근의 곱 αβ = c⁄a > 0 (음수×음수=양수)
- 두 근이 서로 다른 부호일 조건 (α와 β 중 하나는 양수, 하나는 음수):
- (i) 두 근의 곱 αβ = c⁄a < 0 (양수×음수=음수)
- (이 경우, ac < 0이므로 판별식 D = b2-4ac에서 -4ac > 0이 되어 항상 D > 0이므로, 판별식 조건은 생략 가능해요! )
주의! 근의 부호는 근이 실근일 때만 생각할 수 있어요. 따라서 두 근이 모두 양수이거나 모두 음수일 조건을 따질 때는 반드시 판별식 D \ge 0이라는 조건을 먼저 확인해야 합니다!
🤔 왜 이 세 가지 조건을 따져야 할까요?
개념정리 98-1: 실근 존재 여부, 합의 부호, 곱의 부호!
이차방정식의 두 실근 α, β의 부호를 판별하기 위해 우리는 다음 세 가지 정보를 종합적으로 활용해요.
- 판별식 (D = b2-4ac):
우선 근의 부호를 따지려면 근이 실수여야 하겠죠? 따라서 D \ge 0 (서로 다른 두 실근 또는 중근) 조건을 만족해야 해요. 만약 D < 0이면 허근을 가지므로 부호를 따질 수 없어요. - 두 근의 합 (α + β = –b⁄a):
두 근의 합의 부호는 두 근의 부호에 대한 중요한 단서가 돼요. 예를 들어, 두 근이 모두 양수이면 합도 양수일 것이고, 두 근이 모두 음수이면 합도 음수이겠죠. - 두 근의 곱 (αβ = c⁄a):
두 근의 곱의 부호도 중요한 단서예요. 두 근이 모두 양수이거나 모두 음수이면 곱은 양수가 되고, 두 근의 부호가 서로 다르면 곱은 음수가 됩니다.
이 세 가지 조건(판별식, 합의 부호, 곱의 부호)을 조합하면 두 실근의 부호를 정확하게 판별할 수 있습니다.
🚦 실근의 부호 판별 조건 자세히 보기
개념정리 98-2: 경우별 조건 상세 분석!
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a,b,c는 실수, a \ne 0)의 두 실근을 α, β라 할 때:
1. 두 근이 모두 양수 (α > 0, β > 0)일 조건
두 근이 모두 양수가 되려면 다음 세 가지를 모두 만족해야 해요.
- (i) 실근을 가져야 하므로: 판별식 D = b2 – 4ac \ge 0
- (ii) 두 양수의 합은 양수이므로: 두 근의 합 α + β = –b⁄a > 0
- (iii) 두 양수의 곱은 양수이므로: 두 근의 곱 αβ = c&frasL;a > 0
2. 두 근이 모두 음수 (α < 0, β < 0)일 조건
두 근이 모두 음수가 되려면 다음 세 가지를 모두 만족해야 해요.
- (i) 실근을 가져야 하므로: 판별식 D = b2 – 4ac \ge 0
- (ii) 두 음수의 합은 음수이므로: 두 근의 합 α + β = –b⁄a < 0
- (iii) 두 음수의 곱은 양수이므로: 두 근의 곱 αβ = c⁄a > 0
3. 두 근이 서로 다른 부호 (α와 β의 부호가 반대)일 조건
두 근의 부호가 서로 다르다는 것은 하나는 양수, 하나는 음수라는 뜻이죠. 이때는 다음 한 가지 조건만 만족하면 돼요.
- 두 근의 곱 αβ = c⁄a < 0
왜 이 조건 하나만으로 충분할까요? c⁄a < 0이라는 것은 a와 c의 부호가 다르다는 뜻이고, 이는 ac < 0을 의미해요. 판별식 D = b2 – 4ac에서 b2 \ge 0이고 -4ac > 0이 되므로, D = b2 + (\text{양수}) > 0이 되어 항상 서로 다른 두 실근을 갖기 때문입니다. 따라서 이 경우에는 판별식 조건을 따로 확인할 필요가 없어요!
‘두 근’ vs ‘서로 다른 두 근’
“두 근이 모두 양수” 또는 “두 근이 모두 음수”라고 할 때는 중근인 경우(D=0)도 포함해요. 만약 문제에서 “서로 다른 두 양근” 또는 “서로 다른 두 음근”이라고 명시한다면 판별식 조건이 D > 0으로 바뀌어야겠죠?
🧐 개념확인 문제: 실근의 부호 판별하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 이차방정식의 두 실근의 부호를 판별해 봅시다!
이차방정식 x2 – 4x + k – 4 = 0의 두 근이 모두 양수일 때, 실수 k의 값의 범위를 구하시오. (PDF 문제)
정답 및 해설:
주어진 이차방정식 x2 – 4x + k – 4 = 0의 두 근을 α, β라고 하고, 판별식을 D라고 합시다.
두 근이 모두 양수이려면 다음 세 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
(i) 판별식 D \ge 0 (또는 D/4 \ge 0)
x의 계수가 -4 (짝수)이므로 짝수 판별식을 사용하면: a=1, b’=-2, c=k-4
D/4 = (-2)2 – 1 \cdot (k-4) = 4 – (k-4) = 4 – k + 4 = 8 – k
8 – k \ge 0 ⇒ k \le 8
(ii) 두 근의 합 α + β > 0
α + β = –(-4)⁄1 = 4.
4 > 0은 항상 성립합니다.
(iii) 두 근의 곱 αβ > 0
αβ = (k-4)⁄1 = k-4.
k-4 > 0 ⇒ k > 4
이제 세 가지 조건 (i), (ii), (iii)을 모두 만족하는 k의 범위를 찾습니다.
(i) k \le 8
(ii) 항상 성립
(iii) k > 4
수직선 위에서 공통 범위를 찾으면 4 < k ≤ 8 입니다.
이차방정식의 실근의 부호를 묻는 문제는 판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱 세 가지 조건을 꼼꼼히 따져보는 것이 중요해요! 😉
오늘은 계수가 실수인 이차방정식의 두 실근의 부호를 판별하는 방법에 대해 배웠습니다. 판별식 D를 통해 실근의 존재 여부를 확인하고, 근과 계수의 관계를 통해 두 근의 합과 곱의 부호를 따져서 두 근이 모두 양수인지, 모두 음수인지, 아니면 서로 다른 부호인지를 판단할 수 있었죠? 이 방법은 이차부등식이나 함수의 그래프 해석 등 다양한 문제에 응용될 수 있으니 꼭 기억해주세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차방정식의 근의 위치에 대한 ‘근의 분리’ 문제를 다뤄보겠습니다. 🎯