쎈미적분1 0807

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 도함수가 주어진 함수의 극값

0807
난이도 중
서술형
그래프 해석
적분상수 결정
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쎈 미적분1 0807번 문제

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출제의도

그래프에서 f′(x)의 식을 복원하는 것이 1단계 — 서술형이라 그 복원 과정 자체가 30%다

꼭짓점이 (−1, −1)이니 f′(x)=a(x+1)²−1로 놓는 데까지는 쉽습니다. 그런데 a를 정할 근거가 필요하고, 그것이 그래프가 원점을 지난다는 사실입니다. 이후는 익숙한 흐름입니다. 극댓값의 위치를 찾고, 주어진 극댓값 1로 적분상수를 정하고, f(2)를 계산합니다. 채점 기준이 30·30·30·10으로 나뉘어 있으니 네 단계를 각각 한 줄씩 답안지에 남기는 것이 점수의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 꼭짓점이 주어진 포물선의 식
꼭짓점이 (−1, −1)인 포물선이므로 f′(x)=a(x+1)²−1 (a>0)로 놓습니다.
이제 a를 정할 조건이 하나 필요합니다. 그래프를 다시 보세요. 어느 점을 지나고 있나요?
힌트 2 — 그래프는 원점을 지난다
그림에서 곡선이 원점 O를 지나므로 f′(0)=0입니다. 대입하면 a−1=0, 즉 a=1.
따라서 f′(x)=x²+2x=x(x+2). 이제 f′(x)=0의 근은 x=−2, x=0입니다.
힌트 3 — 극댓값 1이 가리키는 곳
아래로 볼록한 f′(x)이므로 작은 근에서 극대, 즉 x=−2에서 극대입니다. 그러므로 f(−2)=1.
f(x)=⅓x³+x²+C에 x=−2를 넣어 C를 구한 뒤 f(2)를 계산하세요. −8/3+4+C=1입니다.

다 풀고 나서

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정답 f(2) = 19/3

쎈 미적분1 0807번 해설 1
쎈 미적분1 0807번 해설 2

채점 기준

❶ f′(x)를 구할 수 있다 30%
❷ f(−2)=1임을 알 수 있다 30%
❸ f(x)를 구할 수 있다 30%
❹ f(2)의 값을 구할 수 있다 10%
검산용 지름길 — 극댓값과 극솟값의 차로 C 확인

f′(x)=a(x−α)(x−β)일 때 (극댓값)−(극솟값)= a(β−α)³ ÷ 6 입니다.
여기서는 a=1, α=−2, β=0이므로 차이는 2³÷6=4/3. 극댓값이 1이므로 극솟값 f(0)=1−4/3=−1/3이고, f(0)=C이므로 C=−1/3. 정식 계산으로 얻은 값과 일치합니다. 다만 서술형 답안에는 ❶❷❸의 정식 과정을 그대로 쓰고, 이 방법은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • a=1이라고 근거 없이 단정한다
    그래프만 보고 f′(x)=(x+1)²−1이라고 바로 쓰면 ❶의 30%를 통째로 잃을 수 있습니다. a를 문자로 두고 f′(0)=0을 대입해 a=1을 얻는 그 한 줄이 채점 대상입니다.
  • 극댓값 위치를 x=0으로 잡는다
    f′(x)=x(x+2)에서 부호는 +→−→+로 바뀌므로 x=−2가 극대, x=0이 극소입니다. 여기를 뒤집으면 C가 달라져 ❷ 이후가 전부 무너집니다. 증감표를 반드시 그리세요.
  • f(−2) 계산에서 분수 부호가 꼬인다
    ⅓(−2)³=−8/3, (−2)²=4이므로 −8/3+4+C=1입니다. 여기서 C=1−4+8/3=−1/3. 8/3의 부호를 +로 옮기는 이항 단계에서 실수가 잦습니다.
  • C를 구해 놓고 f(x)를 다시 쓰지 않는다
    ❸은 “f(x)를 구할 수 있다”입니다. f(x)=⅓x³+x²−⅓ 라는 완성된 식을 한 줄로 명시해야 30%가 붙습니다. C 값만 구해 놓고 곧장 f(2)로 넘어가면 감점됩니다.
  • 답을 소수나 대분수로 바꿔 쓴다
    f(2)=8/3+4−1/3=19/3입니다. 6.33이나 6⅓으로 고쳐 쓰면 감점 대상이 될 수 있습니다. 기약분수 19/3 그대로 적으세요.


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