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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 도함수가 주어진 함수의 극값
0806
난이도 중
x축에 접한다
적분상수 결정
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
계산이 아니라 조건 해석이 전부 — “x축에 접한다 + 극솟값이 음수”를 붙여 읽어라
적분은 30초면 끝납니다. f(x)=2x³−9x²+C까지는 누구나 갑니다. 진짜 문제는 C를 어떻게 정하느냐이고, 그 열쇠가 조건 두 개를 함께 읽는 데 있습니다. x축에 접한다는 말은 극값 중 하나가 0이라는 뜻이고, 극솟값이 음수라고 못 박았으니 0이 될 수 있는 것은 극댓값뿐입니다. 이 한 줄의 추론을 못 하면 C=27이라는 오답으로 곧장 빠집니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 먼저 적분부터
f′(x)=6x(x−3)을 전개하면 6x²−18x. 이것을 적분하면 f(x)=2x³−9x²+C입니다.
C가 남아 있으니 f(1)을 아직 구할 수 없습니다. C를 정할 조건을 문제에서 찾아야 합니다.
C가 남아 있으니 f(1)을 아직 구할 수 없습니다. C를 정할 조건을 문제에서 찾아야 합니다.
힌트 2 — “접한다”를 그림으로 옮기면
곡선이 x축에 접한다는 것은 스치듯 닿았다가 돌아선다는 뜻입니다. 삼차함수에서 그런 지점은 극댓점이거나 극솟점밖에 없습니다.
즉 극댓값 또는 극솟값이 0. 둘 중 어느 쪽인지는 나머지 조건이 알려 줍니다.
즉 극댓값 또는 극솟값이 0. 둘 중 어느 쪽인지는 나머지 조건이 알려 줍니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=0에서 x=0(극대), x=3(극소)입니다. 문제가 극솟값은 음수라고 했으니 0이 되는 쪽은 극댓값입니다.
따라서 f(0)=0, 즉 C=0. f(x)=2x³−9x²이므로 f(1)을 구하세요.
따라서 f(0)=0, 즉 C=0. f(x)=2x³−9x²이므로 f(1)을 구하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② −7
다른 풀이 — 접한다 = 중근이다
x축에 접한다는 것은 f(x)=0이 중근을 가진다는 뜻입니다. 접점이 x=0이므로 f(x)=2x²(x−k) 꼴로 놓을 수 있고, 전개하면 2x³−2kx². 이것이 2x³−9x²+C와 같아야 하므로 k=9/2, C=0.
즉 f(x)=x²(2x−9)이고 f(1)=1×(2−9)=−7. 인수분해된 꼴이라 대입이 훨씬 빠릅니다. 참고로 극솟값 f(3)=9×(6−9)=−27<0이므로 조건도 만족합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
극솟값을 0으로 놓는다
이 문제의 유일한 함정입니다. f(3)=0으로 두면 C=27, f(1)=2−9+27=20이 나와 선택지에 없습니다. 극솟값은 음수라고 문제에 적혀 있으니 0이 될 수 있는 것은 극댓값뿐입니다. -
“접한다”를 “만난다”로 읽는다
x축과 만나기만 한다면 조건이 되지 않습니다. 삼차함수는 어차피 x축과 반드시 만납니다. 접한다는 말이 곧 극값이 0이라는 정보를 준다는 점이 이 문제의 핵심입니다. -
적분에서 계수를 흘린다
∫6x²dx=2x³, ∫(−18x)dx=−9x²입니다. 6x²를 그대로 6x³으로 옮겨 적는 실수가 잦습니다. 지수를 1 올리고 그 수로 나눈다는 두 동작을 각 항마다 확인하세요. -
극대·극소 위치를 뒤바꾼다
f′(x)=6x(x−3)은 아래로 볼록한 이차함수이므로 x=0에서 극대, x=3에서 극소입니다. 근의 크기 순서만 보고 앞쪽이 극소라고 넘겨짚지 마세요. -
C=0을 구해 놓고 다시 더한다
f(1)=2−9+C에서 C=0이므로 −7입니다. 앞서 잘못 구한 27을 습관적으로 붙이거나, C를 아예 잊고 f′(1)을 계산해 −12로 답하는 경우도 있습니다. 마지막 대입은 f(x)=2x³−9x²에 하는 것입니다.
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