쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · f′(x)에서 f(x) 구하기
0808
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삼차함수 극대·극소
적분상수 결정
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출제의도
f′(x)를 완성해서 적분하고, 극댓값 56으로 적분상수 C를 잡는 문제
문제에는 f(x)가 하나도 주어져 있지 않습니다. 대신 f′의 두 근(2, 10)과 최고차항 계수만 있죠. 그래서 순서가 정해집니다. ① f′(x)=3(x−2)(x−10)으로 도함수를 확정한다 → ② 증감표로 어디가 극대인지 판정한다 → ③ 부정적분해서 f(x)=x³−18x²+60x+C를 얻는다 → ④ f(2)=56으로 C를 결정한다 → ⑤ 묻는 값 f(10)을 계산한다. 다섯 단계 중 하나라도 건너뛰면 답이 안 나옵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f′(x)부터 통째로 쓸 수 있다
f(x)의 최고차항이 x³이므로 f′(x)의 최고차항은 3x²입니다.
f′(2)=f′(10)=0, 즉 f′의 두 근이 2와 10이므로 f′(x)=3(x−2)(x−10). 여기까지는 계산이 아니라 조립입니다.
f′(2)=f′(10)=0, 즉 f′의 두 근이 2와 10이므로 f′(x)=3(x−2)(x−10). 여기까지는 계산이 아니라 조립입니다.
힌트 2 — 극대는 왼쪽 근에서
f′(x)=3(x−2)(x−10)의 부호는 x<2에서 +, 2<x<10에서 −, x>10에서 +입니다.
따라서 x=2에서 극대, x=10에서 극소. 문제가 준 극댓값 56은 f(2)=56이라는 뜻이고, 구하라는 극솟값은 f(10)입니다.
따라서 x=2에서 극대, x=10에서 극소. 문제가 준 극댓값 56은 f(2)=56이라는 뜻이고, 구하라는 극솟값은 f(10)입니다.
힌트 3 — C를 구해야 끝난다
f(x)=∫3(x−2)(x−10)dx=∫(3x²−36x+60)dx=x³−18x²+60x+C.
f(2)=8−72+120+C=56+C=56이므로 C=0.
이제 f(10)=1000−1800+600을 계산하면 됩니다.
f(2)=8−72+120+C=56+C=56이므로 C=0.
이제 f(10)=1000−1800+600을 계산하면 됩니다.
다 풀고 나서
해설
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정답 ④ −200
다른 풀이 — 미정계수로 놓고 연립
f(x)=x³+ax²+bx+c로 두면 f′(x)=3x²+2ax+b.
f′(2)=12+4a+b=0, f′(10)=300+20a+b=0을 연립하면 a=−18, b=60.
즉 f(x)=x³−18x²+60x+c이고, x=2에서 극대이므로 f(2)=56에서 c=0. 결국 같은 식에 도달합니다. 적분이 익숙하지 않다면 이 방법이 더 안전하지만, 미지수가 3개라 계산량은 조금 더 많습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=2를 극소로, x=10을 극대로 착각한다
최고차항 계수가 양수인 삼차함수는 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소입니다. 반대로 잡으면 f(10)=56으로 놓게 되어 C가 −544가 되고 답이 완전히 달라집니다. 증감표를 한 줄이라도 그려서 확인하세요. -
f′(x)=(x−2)(x−10)으로 계수 3을 빠뜨린다
f(x)의 최고차항이 x³이면 f′(x)의 최고차항은 3x²입니다. 3을 빠뜨리면 적분 결과가 ⅓x³−6x²+20x가 되어 전부 어긋납니다. 근이 맞아도 계수가 틀리면 다른 함수입니다. -
적분상수 C를 안 붙이고 진행한다
이 문제는 마침 C=0이라 답이 우연히 맞을 수 있지만, 그건 확인해야 알 수 있는 사실입니다. C를 붙이고 f(2)=56에서 결정하는 절차를 반드시 거치세요. 다음 문제에서 C≠0이면 이 습관 하나로 갈립니다. -
3(x−2)(x−10) 전개에서 −36x를 −24x로 쓴다
(x−2)(x−10)=x²−12x+20이고 여기에 3을 곱하면 3x²−36x+60입니다. 2와 10을 더해 12가 나오는데, 3을 곱하는 걸 x² 항에만 적용하는 실수가 잦습니다. -
f(10) 대입에서 자릿수를 흘린다
f(10)=10³−18·10²+60·10=1000−1800+600=−200입니다. 18·10²을 180으로 쓰면 1000−180+600=1420이 되어 선택지에 아예 없는 값이 나옵니다. 세 항을 세로로 나란히 적고 더하세요.