쎈미적분1 0799

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 10 부정적분과 미분계수의 정의

0799
난이도 중
서술형
미정계수와 부정적분
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쎈 미적분1 0799번 문제

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출제의도

극한식 하나를 f(1)=2와 f′(1)=0 두 정보로 쪼개 쓰라는 문제

이 문제의 핵심은 lim (f(x)−2)/(x−1) 이라는 한 줄에서 조건을 두 개 뽑아내는 것입니다. 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하므로 분자도 0 → f(1)=2가 첫 번째, 그러면 그 극한이 곧 f′(1)의 정의식이라 f′(1)=0이 두 번째입니다. 여기에 f′(5)=0을 더하면 f′(x)의 두 근이 모두 잡히고, 부정적분 → 상수 C 결정 순서로 f(x)가 완성됩니다. 서술형이라 이 네 단계가 답안지에 각각 남아야 점수가 붙습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 분모가 0으로 가면 분자도 0
x → 1일 때 분모 x−1 → 0인데 극한값이 존재합니다. 그렇다면 분자도 반드시 0으로 가야 합니다.
즉 lim{f(x)−2}=0이므로 f(1)=2. 이 한 줄을 먼저 답안지에 적으세요.
힌트 2 — 이 극한식의 정체
f(1)=2를 알았으니 분자의 2를 f(1)로 바꿔 쓸 수 있습니다.
lim (f(x)−f(1))/(x−1) — 이건 f′(1)의 정의 그 자체입니다. 문제에서 이 극한이 0이라 했으니 f′(1)=0이고, 문제에 f′(5)=0도 함께 주어져 있습니다.
힌트 3 — f′의 계수를 놓치지 말 것
f(x)가 최고차항의 계수 1인 삼차함수면 f′(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차함수입니다.
근이 1과 5이므로 f′(x)=3(x−1)(x−5). 이걸 적분한 뒤, 남은 적분상수 C는 힌트 1에서 구한 f(1)=2로 결정합니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 f(2) = −3

쎈 미적분1 0799번 해설

채점 기준

❶ f(1), f′(1)의 값을 구할 수 있다 30%
❷ f′(x)의 부정적분을 구할 수 있다 30%
❸ f(x)를 구할 수 있다 30%
❹ f(2)의 값을 구할 수 있다 10%
검산용 지름길 — 분자를 (x−1)²로 묶기

f(x)−2가 (x−1)로 나누어떨어지는데 그 몫의 극한까지 0이므로, f(x)−2는 (x−1)²로 나누어떨어집니다. 즉 f(x)=(x−1)²(x−a)+2로 놓을 수 있고, 미분하면 f′(x)=(x−1)(3x−2a−1). f′(5)=0에서 a=7.
따라서 f(2)=(2−1)²(2−7)+2=−5+2=−3. 다만 서술형 답안에는 채점기준 ❶❷❸의 정식 과정을 그대로 쓰고, 이 방법은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(x)의 최고차항 계수를 1로 쓴다
    f(x)의 최고차항 계수가 1이면 f′(x)의 최고차항 계수는 3입니다. f′(x)=(x−1)(x−5)로 쓰면 이후 계산이 전부 어긋납니다. 반드시 3(x−1)(x−5).
  • f(1)=2를 구해 놓고 쓰지 않는다
    적분상수 C를 결정할 유일한 조건이 f(1)=2입니다. 이걸 빠뜨리면 f(x)=x³−9x²+15x+C에서 멈춰 ❸❹ 40%를 통째로 날립니다.
  • f′(1)=0을 f(1)=0으로 착각한다
    0이 되는 것은 극한값, 즉 미분계수 f′(1)입니다. 함숫값은 f(1)=2입니다. 두 값을 뒤바꾸면 C가 −7로 나옵니다.
  • 답만 적고 과정을 생략한다
    서술형입니다. −3만 쓰면 10%입니다. ① f(1)=2와 f′(1)=0 ② 부정적분 ③ C 결정 세 단계를 각각 한 줄씩 남겨야 나머지 90%가 붙습니다.
  • 마지막 대입에서 부호가 무너진다
    f(2)=8−36+30−5입니다. −9x²에 x=2를 넣으면 −36이고, 여기서 부호를 놓치면 답이 69가 됩니다. 항별로 부호를 먼저 찍고 더하세요.

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