쎈미적분1 0798

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 10 부정적분과 미분계수

0798
난이도 중
객관식
f′ → f 복원
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쎈 미적분1 0798번 문제

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출제의도

극한으로 f′을 뽑아내고, 적분해서 f를 되돌리는 왕복 문제

0796과 방향이 반대입니다. 여기서는 f가 아예 주어지지 않고, 극한식이 f를 알려주는 유일한 단서입니다. 왼쪽 극한을 f(x)를 끼워 넣어 분해하면 2f′(x)가 나오고, 이것이 8x³−4x+6과 같으므로 f′(x)를 얻습니다. 그다음 적분해서 f(x)를 복원하되 적분상수 C가 남으므로, f(1)=2라는 조건으로 C를 확정해야 비로소 f(−1)을 구할 수 있습니다. 조건 하나하나가 모두 쓰이는 구조입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 기준점을 f(x)로 잡기
분자 f(x−h)−f(x−3h)의 가운데에 −f(x)+f(x)를 넣으세요.
{f(x−h)−f(x)} − {f(x−3h)−f(x)} 두 덩어리가 됩니다. 이때 기준점은 상수 a가 아니라 x 자체입니다. h→0이므로 x−h도 x−3h도 x로 다가갑니다.
힌트 2 — 분모를 억지로 맞추기
첫 덩어리는 분모를 −h로 만들고 밖에 (−1)을 곱합니다 → −f′(x).
둘째 덩어리는 분모를 −3h로 만들고 밖에 (−3)을 곱합니다 → −3f′(x). 그런데 이 덩어리는 빼는 항이니 부호가 뒤집혀 +3f′(x). 합치면 얼마인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
2f′(x)=8x³−4x+6이므로 f′(x)=4x³−2x+3. 반드시 2로 나누세요.
적분하면 f(x)=x⁴−x²+3x+C. 여기서 끝내지 말고 f(1)=2를 대입해 C를 구한 다음 f(−1)을 계산해야 합니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ① −4

쎈 미적분1 0798번 해설

검산용 지름길 — 홀수차 항만 부호가 바뀐다

f(x)=x⁴−x²+3x−1에서 x⁴, −x², −1은 x=1과 x=−1에서 값이 같고, 3x만 부호가 뒤집힙니다.
따라서 f(−1)=f(1)−2·(3·1)=2−6=−4. f(1)=2가 이미 주어져 있으니 한 줄로 검산됩니다. 다만 이 방법은 C까지 확정된 뒤에야 쓸 수 있으니, 적분과 C 결정은 정식으로 마친 다음 마지막 확인용으로 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 2로 나누지 않고 f′(x)=8x³−4x+6으로 진행한다
    왼쪽 극한의 결과는 f′(x)가 아니라 2f′(x)입니다. 나누는 걸 잊으면 f(x)=2x⁴−2x²+6x+C가 되어 이후가 전부 어긋납니다. 등식을 세운 직후 바로 2로 나눠 f′(x)를 따로 한 줄에 적으세요.
  • −3h 항의 계수 3을 놓친다
    분모를 −3h로 맞췄으면 밖에 반드시 3을 곱해야 합니다. 이를 빠뜨리면 −f′(x)+f′(x)=0이 되어 극한이 0이라는 엉뚱한 결론이 나옵니다. 분모를 몇 배로 바꿨는지 그 자리에 즉시 적어 두세요.
  • 적분상수 C를 구하지 않고 f(−1)을 계산한다
    C 없이 f(−1)=1−1−3=−3으로 답하면 선지에 없습니다. f(1)=2라는 조건은 오직 C를 정하기 위해 존재합니다. 1−1+3+C=2 → C=−1. 문제에 주어진 조건 중 안 쓴 게 있으면 아직 다 푼 게 아닙니다.
  • (−1)의 거듭제곱 부호를 틀린다
    (−1)⁴=1, (−1)²=1입니다. f(−1)=1−1−3−1=−4. 짝수 제곱은 양수라는 걸 대입할 때 괄호로 확실히 표시하세요. 부호 하나가 선지 ②−2, ③0으로 그대로 이어집니다.
  • 기준점을 x가 아닌 0이나 상수로 잡는다
    분자에 끼워 넣을 값은 f(0)이 아니라 f(x)입니다. h→0일 때 x−h와 x−3h가 모두 x로 다가가기 때문입니다. 기준점을 잘못 잡으면 분해 자체가 성립하지 않습니다.

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