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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 10 부정적분과 미분계수
0797
난이도 하
단답형
F′(a)=f(a)
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난이도 하
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F′(a)=f(a)
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출제의도
분모의 3x−6을 3(x−2)로 묶는 순간, 남는 건 F′(2)=f(2) 하나뿐
난이도 ‘하’인 이유는 장치가 딱 두 개라서입니다. ① 분모를 3(x−2)로 인수분해해 1/3을 극한 밖으로 빼면 정확히 미분계수의 정의 꼴이 됩니다. ② “F는 f의 한 부정적분”이라는 문장은 곧 F′(x)=f(x)라는 뜻이므로, F를 실제로 구하지 않고 F′(2)를 f(2)로 바꿔 치기만 하면 됩니다. 남은 일은 f(2)를 대입 계산하는 것뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모를 미분계수 모양으로
미분계수의 정의는 분모가 반드시 x−a여야 합니다. 지금 분모는 3x−6이죠.
3x−6=3(x−2)로 묶고, 상수 1/3을 극한 기호 밖으로 빼내세요. 그러면 {F(x)−F(2)}/(x−2) 꼴이 그대로 드러납니다.
3x−6=3(x−2)로 묶고, 상수 1/3을 극한 기호 밖으로 빼내세요. 그러면 {F(x)−F(2)}/(x−2) 꼴이 그대로 드러납니다.
힌트 2 — “부정적분”이라는 단어의 뜻
F가 f의 한 부정적분이라는 말은 F′(x)=f(x)라는 뜻입니다.
따라서 F′(2)=f(2). F(x)를 직접 적분해서 구할 필요가 전혀 없습니다. F′(2)를 f′(2)로 착각하지 않도록 한 번 더 확인하세요.
따라서 F′(2)=f(2). F(x)를 직접 적분해서 구할 필요가 전혀 없습니다. F′(2)를 f′(2)로 착각하지 않도록 한 번 더 확인하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=4x³−3x²+1에 x=2를 대입하면 f(2)=4·8−3·4+1=21.
앞에 빼둔 1/3을 곱하는 것을 잊지 마세요. 21이 아니라 7입니다.
앞에 빼둔 1/3을 곱하는 것을 잊지 마세요. 21이 아니라 7입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
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정답 7
검산용 — F를 실제로 구해서 확인하기
F(x)=∫(4x³−3x²+1)dx=x⁴−x³+x+C라 두면 F(2)=16−8+2+C=10+C.
분자 F(x)−F(2)에서 C가 상쇄되고, x⁴−x³+x−10을 (x−2)로 나누면 x³+x²+2x+5가 남습니다. x=2를 넣으면 8+4+4+5=21, 여기에 1/3을 곱해 7. 답이 같게 나오죠. 시간은 세 배 걸리지만 F′(2)=f(2)가 왜 성립하는지 확인하는 데는 좋은 연습입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분모의 3을 빼놓고 답을 21로 쓴다
이 문제에서 가장 많이 나오는 오답이 21입니다. 3x−6=3(x−2)로 묶는 순간 1/3을 식 앞에 먼저 적어 두고 계산을 시작하세요. 나중에 곱하려고 미루면 잊습니다. -
F′(2)를 f′(2)로 착각한다
미분한 것은 F이지 f가 아닙니다. F′=f이므로 F′(2)=f(2)=21. 여기서 f′(2)=12·4−6·2=36을 구하면 답이 12가 되어 전부 어긋납니다. 대문자와 소문자를 시작할 때 동그라미로 표시해 두세요. -
f(2) 대입에서 거듭제곱을 틀린다
4·2³은 4·8=32이지 (4·2)³=512가 아닙니다. 3·2²은 3·4=12. 32−12+1=21. 계수와 지수를 분리해서 한 항씩 쓰는 습관이 필요합니다. -
적분상수 C를 신경 쓰다 시간을 버린다
“한 부정적분”이라는 표현 때문에 C를 어떻게 정할지 고민하는 학생이 많습니다. 분자가 F(x)−F(2)라 C는 항상 상쇄됩니다. 어떤 F를 잡아도 답은 같습니다. -
x→2인데 분모가 0이라며 극한이 없다고 판단한다
분자도 함께 0으로 갑니다. 0/0 꼴은 “값이 없다”가 아니라 “정의로 되돌리라”는 신호입니다. 분자·분모가 동시에 0이 되는 순간 미분계수의 정의를 떠올리세요.