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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 10 부정적분과 미분계수
0796
대표문제
객관식
미분계수의 정의
풀이영상 있음
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미분계수의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
적분기호는 미분으로 지우고, 극한은 미분계수의 정의로 되돌리라는 두 겹짜리 문제
장치가 두 개 겹쳐 있습니다. 첫째, f(x)=∫g(x)dx의 양변을 미분하면 f′(x)=g(x)입니다. 즉 적분을 실제로 계산할 필요가 없습니다. 둘째, {f(1+h)−f(1−h)}/h는 f(1)을 끼워 넣어 두 개의 미분계수로 쪼개는 대칭차분 꼴이고, 정리하면 2f′(1)이 됩니다. 유형10의 대표문제답게 “f를 구하지 말고 f′만 구하라”는 메시지가 문제 전체를 관통합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 적분기호를 없애는 방법
f(x)=∫(x−2)(x²+2x+4)dx의 양변을 x에 대하여 미분하세요.
좌변은 f′(x), 우변은 적분기호 안의 식 그대로 남습니다. 그리고 (x−2)(x²+2x+4)는 전개하지 말고 a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) 꼴로 보세요. b=2입니다.
좌변은 f′(x), 우변은 적분기호 안의 식 그대로 남습니다. 그리고 (x−2)(x²+2x+4)는 전개하지 말고 a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) 꼴로 보세요. b=2입니다.
힌트 2 — 분자에 f(1)을 끼워 넣기
f(1+h)−f(1−h)에서 가운데에 −f(1)+f(1)을 넣습니다.
{f(1+h)−f(1)} − {f(1−h)−f(1)} 두 덩어리로 갈라지죠. 앞 덩어리는 분모 h 그대로, 뒤 덩어리는 분모를 −h로 맞추면 두 개 모두 x=1에서의 미분계수 정의가 됩니다.
{f(1+h)−f(1)} − {f(1−h)−f(1)} 두 덩어리로 갈라지죠. 앞 덩어리는 분모 h 그대로, 뒤 덩어리는 분모를 −h로 맞추면 두 개 모두 x=1에서의 미분계수 정의가 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
정리하면 f′(1)+f′(1)=2f′(1)입니다.
f′(x)=x³−8이므로 f′(1)=1−8=−7. 여기서 멈추지 말고 2배까지 하세요. 선지에 −7이 따로 놓여 있는 건 우연이 아닙니다.
f′(x)=x³−8이므로 f′(1)=1−8=−7. 여기서 멈추지 말고 2배까지 하세요. 선지에 −7이 따로 놓여 있는 건 우연이 아닙니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① −14
외워두면 즉답 — 대칭차분 공식
limh→0 {f(a+h)−f(a−h)}/h = 2f′(a)입니다. 분자의 두 점이 a를 기준으로 대칭이면 언제나 2배가 붙습니다.
이 문제는 f′(x)=x³−8 → f′(1)=−7 → 2×(−7)=−14로 세 줄이면 끝납니다. 다만 시험장에서 계수를 헷갈릴 위험이 있으니, 공식은 검산에 쓰고 실제 답안은 f(1)을 끼워 넣는 정식 분해로 쓰는 편이 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)를 직접 적분해서 구하려 한다
∫(x³−8)dx = x⁴/4 − 8x + C까지 구해도 답은 나오지만, 적분상수 C 때문에 f(1±h)를 대입하는 순간 계산이 길어집니다. 이 문제는 f′(1) 하나면 끝납니다. 적분기호는 “미분해서 지운다”가 원칙입니다. -
2배를 잊고 −7을 고른다
선지 ②에 −7이 있는 이유가 이것입니다. 답은 f′(1)이 아니라 2f′(1). 분자가 f(1+h)−f(1−h)처럼 대칭이면 반드시 2가 붙는다고 표시해 두세요. -
f(1−h) 항의 부호를 놓친다
−{f(1−h)−f(1)}/h를 그대로 −f′(1)로 처리하면 답이 0이 되어 선지 ③에 걸립니다. 분모를 −h로 바꾸면 앞의 마이너스가 상쇄되어 +f′(1)이 됩니다. 분모의 부호를 먼저 맞추고 계수를 정리하세요. -
(x−2)(x²+2x+4)를 잘못 전개한다
x³−8입니다. 손으로 전개하다 보면 중간항이 남는 실수가 잦습니다. a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)에서 a=x, b=2 — 이 꼴을 눈으로 알아보는 훈련이 곧 시간 단축입니다. -
f′(1) 계산에서 부호가 뒤집힌다
f′(1)=1³−8=−7입니다. 8−1=7로 쓰면 ④가 됩니다. 상수항이 −8이라는 것을 식을 쓸 때 괄호로 한 번 더 확인하세요.