쎈미적분1 0795

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 09 부정적분과 접선의 기울기

0795
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서술형
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쎈 미적분1 0795번 문제

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출제의도

최솟값 조건으로 C를 결정하고, 구간에서의 최댓값은 따로 구하는 문제

한 문제 안에 “최솟값”과 “최댓값”이 둘 다 나와서 헷갈리기 쉽지만 역할이 완전히 다릅니다. 최솟값 −5는 실수 전체에서의 최솟값이고, 이것은 적분상수 C를 결정하는 조건입니다. 최댓값은 그렇게 완성된 f(x)를 구간 [−1, 2]에 가둬 놓고 구하는 것입니다. 서술형이라 배점도 이 순서 그대로 f′(x) 20%, f(x) 50%, 최댓값 30%로 나뉩니다. 중간의 f(x)를 정확히 완성하는 데 절반이 걸려 있습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 기울기를 적분부터
접선의 기울기가 2x−6이므로 f′(x)=2x−6, 적분하면 f(x)=x²−6x+C입니다.
여기까지가 배점 70% 중 앞부분입니다. 아직 C를 모르니 다음 조건을 찾으세요.
힌트 2 — “최솟값 −5″는 꼭짓점 이야기
아래로 볼록한 이차함수의 최솟값은 꼭짓점의 y좌표입니다. 완전제곱으로 고치면 f(x)=(x−3)²−9+C.
따라서 −9+C=−5. 여기서 C가 나옵니다. 이때 축이 x=3이라는 정보도 같이 얻었다는 점을 기억하세요.
힌트 3 — 축이 구간 안에 있는지 확인
축은 x=3인데 구간은 [−1, 2]입니다. 축이 구간 바깥 오른쪽에 있으므로 이 구간에서 f는 계속 감소합니다.
그러면 최댓값은 왼쪽 끝점에서 나옵니다. f(−1)을 계산하고, 서술형이니 ① f′(x) ② f(x) 완성 ③ 최댓값, 세 덩어리가 답안지에 모두 남아 있는지 확인하세요.

다 풀고 나서

해설

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정답 11

쎈 미적분1 0795번 해설

채점 기준

❶ f′(x)를 구할 수 있다 20%
❷ f(x)를 구할 수 있다 50%
❸ f(x)의 최댓값을 구할 수 있다 30%
검산용 지름길 — 두 끝점을 모두 계산해 크기를 비교

f(x)=x²−6x+4에서 f(−1)=1+6+4=11, f(2)=4−12+4=−4.
축이 구간 밖이라는 판단이 맞다면 두 끝점 중 축에서 먼 쪽이 최대여야 합니다. −1이 3에서 4만큼, 2가 3에서 1만큼 떨어져 있으니 −1 쪽이 최대. 두 값을 실제로 계산해 보면 논리와 계산이 서로를 검산해 줍니다. 다만 답안에는 감소 근거를 한 줄 적어 두는 편이 안전합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 최솟값 −5를 구간 [−1, 2]에서의 최솟값으로 읽는다
    이 문제에서 가장 치명적인 오독입니다. 최솟값 조건은 구간이 등장하기 전, f(x)를 완성하기 위한 조건입니다. 구간 안에서의 최솟값으로 잡으면 f(2)=−5가 되어 C가 완전히 달라지고 배점 50%짜리 ❷가 통째로 날아갑니다.
  • 축 x=3이 구간에 들어 있다고 생각한다
    [−1, 2]에 3은 없습니다. 축이 구간 밖이면 최대·최소는 모두 끝점에서 나옵니다. 구간을 수직선에 그리고 축의 위치를 표시하는 한 줄이 이 실수를 막아 줍니다.
  • 최댓값을 x=2에서 찾는다
    구간의 오른쪽 끝이라고 최댓값이 되는 것이 아닙니다. 아래로 볼록한 그래프에서는 축에서 멀수록 값이 큽니다. f(2)=−4, f(−1)=11로 왼쪽 끝이 최대입니다.
  • f(−1)에서 −6x의 부호를 놓친다
    f(−1)=(−1)²−6(−1)+4=1+6+4=11입니다. 1−6+4=−1로 쓰는 실수가 잦습니다. 음수를 대입할 때는 반드시 괄호를 치고 적으세요.
  • 서술형인데 완전제곱 과정을 생략한다
    답 11만 적으면 30%입니다. f′(x)=2x−6, f(x)=(x−3)²−9+C에서 C=4, 따라서 f(x)=x²−6x+4 — 이 두 줄이 남아 있어야 나머지 70%가 붙습니다. 감소 근거까지 한 줄 덧붙이면 완벽합니다.

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