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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 10 부정적분과 미분계수의 정의
0800
난이도 상
두 극한 조건
근과 계수의 관계
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근과 계수의 관계
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출제의도
극한 두 개의 성격이 완전히 다르다 — (가)는 차수 판정, (나)는 미분계수
(가)는 x → ∞이므로 f′(x)가 몇 차식인지, 계수가 얼마인지를 알려 주는 조건입니다. (나)는 x → 2로 가는 유한 극한이므로 f(2)=0과 f′(2)=1이라는 두 값을 내주는 조건입니다. 성격이 다른 두 극한에서 각각 뽑아낸 정보를 f′(x)=4x+k에 합쳐 k를 확정하고, 부정적분으로 f(x)까지 완성한 뒤에야 마지막에 근과 계수의 관계를 쓸 수 있습니다. 난이도 상인 이유는 정보의 출처를 헷갈리기 쉬워서입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — (가)는 차수를 묻는 조건
x → ∞에서 (다항식)/(일차식)의 극한이 0이 아닌 유한한 값 4로 존재하려면, 분자도 일차식이어야 하고 최고차항의 계수를 비교해 그 계수가 4여야 합니다.
따라서 f′(x)=4x+k (k는 상수)로 놓고 시작합니다. 상수항 k를 빼먹지 마세요.
따라서 f′(x)=4x+k (k는 상수)로 놓고 시작합니다. 상수항 k를 빼먹지 마세요.
힌트 2 — (나)에서 두 개를 뽑기
x → 2일 때 분모 → 0인데 극한값이 존재하므로 분자도 0, 즉 f(2)=0입니다.
그러면 분자 f(x)를 f(x)−f(2)로 바꿔 쓸 수 있고, 이 극한은 곧 f′(2)=1이 됩니다. 조건 하나에서 값 두 개가 나옵니다.
그러면 분자 f(x)를 f(x)−f(2)로 바꿔 쓸 수 있고, 이 극한은 곧 f′(2)=1이 됩니다. 조건 하나에서 값 두 개가 나옵니다.
힌트 3 — 순서를 지키면 끝난다
f′(2)=8+k=1에서 k=−7 → f′(x)=4x−7.
적분하면 f(x)=2x²−7x+C이고, 남은 C는 f(2)=0으로 결정합니다.
마지막에 “모든 근의 곱”은 근을 직접 구하지 말고 근과 계수의 관계(c/a)로 한 번에 답하세요.
적분하면 f(x)=2x²−7x+C이고, 남은 C는 f(2)=0으로 결정합니다.
마지막에 “모든 근의 곱”은 근을 직접 구하지 말고 근과 계수의 관계(c/a)로 한 번에 답하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ④ 3
검산용 — 인수분해로 직접 확인
f(x)=2x²−7x+6=(2x−3)(x−2)이므로 근은 3/2와 2, 곱은 3입니다. 근과 계수의 관계로 얻은 6/2=3과 일치하는지 확인하고 넘어가세요.
덤으로 f(2)=0이라는 조건도 이 인수분해에서 그대로 보입니다. (x−2)라는 인수가 있어야 (나)의 조건이 성립한다는 뜻입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(x)=4(x−1)로 단정한다
(가)가 알려 주는 것은 “일차식이고 x의 계수가 4″라는 사실뿐입니다. 상수항까지 −4로 고정되지 않습니다. 반드시 f′(x)=4x+k로 놓고 k는 (나)에서 찾으세요. -
(나)에서 f(2)=0을 건너뛴다
분모 → 0인데 극한이 존재한다 → 분자 → 0. 이 한 줄을 적어야 f(2)=0이 확보되고, 나중에 적분상수 C도 이 값으로 결정됩니다. 빠뜨리면 C가 미지수로 남습니다. -
f′(2)와 f(2)를 뒤섞는다
(나)에서 나오는 값은 f(2)=0(함숫값)과 f′(2)=1(미분계수) 두 개입니다. f(2)=1로 잘못 쓰면 k와 C가 동시에 어긋납니다. -
근의 곱을 −c/a로 계산한다
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 합이 −b/a, 곱이 c/a입니다. 여기서는 6/2=3. 부호를 붙여 −3(①)으로 답하면 오답 선택지에 정확히 걸립니다. -
f를 구하지 않고 f′로 답하려 한다
묻는 것은 f(x)=0의 근입니다. f′(x)=4x−7까지만 구하고 7/4 같은 값을 꺼내면 안 됩니다. 반드시 부정적분 → C 결정 → f(x) 완성까지 가세요.
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