쎈미적분1 0788

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 08 부정적분과 함수의 연속성

0788
대표문제
구간별 정의
연속조건
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쎈 미적분1 0788번 문제

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출제의도

구간이 둘이면 적분상수도 둘 — 그 둘을 잇는 다리가 연속조건이다

이 유형의 대표문제입니다. f′(x)가 x=−1을 경계로 나뉘어 있으므로 각 구간에서 따로 적분하고, 적분상수도 C₁과 C₂로 따로 둡니다. 미지수는 k, C₁, C₂ 셋. 이에 맞춰 조건도 정확히 셋입니다. f(0)=−3, f(−2)=6, 그리고 x=−1에서의 연속. 어떤 조건이 어느 구간의 식에 붙는지만 정확히 배분하면 연립방정식으로 끝납니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 적분상수를 두 개로
f′(x)를 구간별로 적분하면
x>−1에서 f(x)=½x²−3x+C₁, x<−1에서 f(x)=kx+C₂.
구간이 떨어져 있으므로 두 적분상수는 서로 아무 관계가 없습니다. 절대로 하나의 C로 통일하지 마세요.
힌트 2 — 조건을 알맞은 구간에 배분하기
0은 −1보다 크므로 f(0)=−3은 위쪽 식에 대입 → C₁=−3.
−2는 −1보다 작으므로 f(−2)=6은 아래쪽 식에 대입 → −2k+C₂=6.
이 배분을 반대로 하면 문제가 아예 풀리지 않습니다. 부등호를 손가락으로 짚어 가며 확인하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=−1에서 연속 ⇒ 우극한 = 좌극한.
우극한은 ½(−1)²−3(−1)−3 = ½, 좌극한은 −k+C₂.
−k+C₂=½ 과 −2k+C₂=6, 두 식을 빼면 k가 곧바로 나옵니다. 그리고 구한 것이 k인지 C₂인지 답을 적기 전에 확인하세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ① k = −11/2

쎈 미적분1 0788번 해설

지름길 — k는 직선의 기울기다

x<−1에서 f′(x)=k, 즉 이 구간에서 f는 기울기 k인 직선입니다.
연속이므로 f(−1)=½(−1)²−3(−1)−3=½. 여기에 f(−2)=6을 함께 놓으면
k = (½ − 6) ÷ (−1 − (−2)) = −11/2.
C₂를 구하지 않고 20초 만에 답이 나옵니다. 정식 풀이로 답을 낸 뒤 이 방법으로 검산하세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 적분상수를 하나로 통일한다
    이 유형에서 가장 치명적인 실수입니다. 구간이 x>−1과 x<−1로 끊어져 있으므로 적분상수는 반드시 C₁, C₂ 두 개입니다. 하나로 두면 연속조건을 쓸 자리 자체가 사라집니다.
  • C₂인 −5를 답으로 고른다
    선지 ②가 −5입니다. 연립을 풀면 C₂=−5, k=−11/2가 함께 나오는데, 문제가 묻는 것은 상수 k입니다. 이 문제가 노리는 함정이니 답을 마킹하기 전 문제 마지막 줄을 다시 읽으세요.
  • f(0)과 f(−2)를 반대 구간에 대입한다
    0>−1이므로 f(0)은 ½x²−3x+C₁ 쪽, −2<−1이므로 f(−2)는 kx+C₂ 쪽입니다. 부등호 방향을 흘려보면 미지수가 서로 얽혀 답이 나오지 않습니다.
  • 연속조건에서 부호를 놓친다
    ½(−1)²−3(−1)−3에서 −3(−1)=+3입니다. 그리고 좌극한 k(−1)+C₂=−k+C₂. 두 자리 모두 음수 대입이라 부호가 두 번 걸립니다. 괄호를 치고 한 줄씩 적으세요.
  • 연속조건을 아예 쓰지 않는다
    미지수 k, C₁, C₂가 셋인데 f(0), f(−2) 두 조건만으로는 결정되지 않습니다. “x=−1에서 연속이 되도록”이라는 문장이 세 번째 식을 주고 있다는 것을 문제를 읽을 때 표시해 두세요.

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