쎈미적분1 0787

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 07 적분식을 포함한 등식

0787
난이도 상
항등식의 성질
차수 결정
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쎈 미적분1 0787번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

적분 기호를 미분으로 지우고, 차수를 먼저 정한 뒤 계수를 비교하라는 3단 문제

이 유형의 골격은 언제나 같습니다. ① 양변을 미분해 ∫ 기호를 없앤다 → ② f(x)를 n차라 두고 양변의 최고차항을 맞춰 n을 결정한다 → ③ 일반형을 대입해 항등식 계수비교로 a, b, c를 구한다. 상 난이도인 이유는 ②가 한 단계 더 있기 때문입니다. xf(x)가 (n+1)차라는 점을 놓치면 차수를 잘못 잡고 시작부터 어긋납니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — ∫ 기호를 없애는 방법은 하나뿐
등식 안에 ∫가 들어 있으면 양변을 x에 대해 미분합니다.
이때 ∫xf(x)dx를 미분하면 f(x)가 아니라 xf(x)입니다. 적분 안에 있던 식이 그대로 나온다는 점을 기억하세요.
미분하면 f′(x)+xf(x)=3x³−x²+7x−1이 됩니다.
힌트 2 — 차수를 먼저 정한다
f(x)를 n차함수라 하면 f′(x)는 (n−1)차, xf(x)는 (n+1)차입니다.
좌변에서 가장 높은 차수를 만드는 것은 xf(x)이고, 우변의 최고차는 3차입니다.
따라서 n+1=3, 즉 n=2. f(x)는 이차함수입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=ax²+bx+c (a≠0), f′(x)=2ax+b를 대입하면
좌변은 ax³+bx²+(2a+c)x+b로 정리됩니다.
우변 3x³−x²+7x−1과 계수를 하나씩 맞추세요. a, b는 바로 보이고 c는 2a+c=7에서 나옵니다.
구한 것은 f(x)이지 답이 아닙니다. 문제가 요구한 것은 f(2)입니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ③ 11

쎈 미적분1 0787번 해설

검산법 — 구한 f(x)를 원래 식에 되돌려 넣기

f(x)=3x²−x+1이라면 ∫xf(x)dx=∫(3x³−x²+x)dx=(3/4)x⁴−(1/3)x³+(1/2)x²+C입니다.
여기에 f(x)를 더하면 (3/4)x⁴−(1/3)x³+(1/2+3)x²−x+(1+C)이고, x²의 계수가 7/2로 우변과 정확히 맞습니다. 계수비교를 한 뒤 30초면 끝나는 검산이니 시험장에서 꼭 해보세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • ∫xf(x)dx를 미분해서 f(x)라고 쓴다
    가장 많이 나오는 실수입니다. 적분 안에 있던 식이 통째로 나옵니다. ∫xf(x)dx를 미분하면 xf(x). 여기서 x를 빠뜨리면 이후 차수 판단부터 전부 무너집니다.
  • f′(x)를 최고차항이라고 착각한다
    f′(x)는 f(x)보다 차수가 하나 낮습니다. 좌변의 최고차를 만드는 것은 xf(x)이고, 그 차수가 n+1입니다. n−1=3으로 놓으면 n=4가 되어 완전히 다른 답이 나옵니다.
  • b가 두 곳에 나온다는 걸 못 본다
    정리된 좌변 ax³+bx²+(2a+c)x+b에서 b는 x²의 계수이면서 동시에 상수항입니다. 우변에서도 −1과 −1로 일치합니다. 두 값이 다르게 나왔다면 앞 단계 계산이 틀렸다는 신호이니 되돌아가세요.
  • f(x)를 구하고 거기서 멈춘다
    f(x)=3x²−x+1은 중간 결과입니다. 선지는 f(2)의 값을 묻고 있습니다. f(2)=12−2+1=11. 문제 마지막 줄을 다시 읽는 습관을 들이세요.
  • a≠0 조건을 빼먹는다
    f(x)를 이차함수로 놓았으면 a≠0이 전제입니다. 서술형으로 나올 경우 이 한 줄이 없으면 감점됩니다. 객관식이어도 습관으로 적어 두세요.

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