쎈미적분1 0786

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 07 함수와 부정적분 사이의 관계식

0786
난이도 중
서술형
일차함수 미정계수
x절편
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쎈 미적분1 0786번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

미분으로 관계식을 만들고, 일차함수라는 조건으로 계수를 확정하는 2단 문제

0784·0785와 앞부분은 똑같습니다. 양변을 미분해 f(x)=(1+x)f′(x)−1을 얻는 데까지가 1단계. 여기서부터 갈라집니다. 이 식만으로는 f를 못 구하니 “일차함수”라는 조건을 꺼내 f(x)=ax+b로 놓고 계수를 비교해야 합니다. 게다가 마지막에 묻는 것은 f(x)가 아니라 x절편입니다. 채점 기준도 미분 30%, f(x) 결정 50%, x절편 20%로 셋으로 쪼개져 있으니 과정을 다 남겨야 만점입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 양변 미분, 우변은 세 덩어리
좌변 2∫f(x)dx를 미분하면 2f(x).
우변 f(x)+xf(x)−x−1을 미분하면 f′(x) + [f(x)+xf′(x)] − 1입니다. xf(x)에서 곱의 미분법을 놓치지 마세요.
양변에서 f(x)를 하나씩 지우면 어떤 식이 남나요?
힌트 2 — 남은 식만으로는 부족하다
정리하면 f(x) = (1+x)f′(x) − 1 …… ㉠
여기서 멈추면 f를 결정할 수 없습니다. 문제에 쓰인 “일차함수”라는 단어가 남아 있습니다.
f(x)=ax+b (a, b는 상수, a≠0)로 놓으면 f′(x)=a. 이걸 ㉠에 넣고 좌우 계수를 비교해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
대입하면 ax+b = a(1+x)−1 = ax+a−1이므로 b = a−1 …… ㉡
또 f(1)=3에서 a+b=3 …… ㉢. 연립하면 a=2, b=1, 즉 f(x)=2x+1.
문제가 물은 것은 x절편입니다. 0=2x+1을 풀어 답을 마무리하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 x절편 = −1/2

쎈 미적분1 0786번 해설 1
쎈 미적분1 0786번 해설 2

채점 기준

❶ 주어진 등식의 양변을 미분할 수 있다 30%
❷ f(x)를 구할 수 있다 50%
❸ x절편을 구할 수 있다 20%
검산용 지름길 — ㉠에 x=1을 바로 대입

f(x)=(1+x)f′(x)−1에서 f는 일차함수라 f′(x)=a로 상수입니다. 여기에 x=1을 넣으면 f(1)=2a−1.
f(1)=3이므로 2a−1=3, 곧 a=2. 그리고 f(1)=3에서 b=1이 바로 따라옵니다. 계수 비교 없이 한 줄로 끝나지만, 서술형 답안에는 ❷의 과정 점수를 위해 f(x)=ax+b를 놓고 비교하는 정식 풀이를 쓰고 이 방법은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(x)=2x+1까지 구하고 답으로 쓴다
    문제가 물은 것은 x절편입니다. 여기서 멈추면 채점 기준 ❸의 20%가 그대로 날아갑니다. 0=2x+1 → x=−1/2까지 반드시 적으세요.
  • 우변 xf(x)에서 곱의 미분법을 빠뜨린다
    (xf(x))′ = f(x)+xf′(x)입니다. xf′(x)만 쓰면 양변의 f(x)가 정리되지 않아 ㉠ 자체가 틀립니다. ❶의 30%가 걸린 자리입니다.
  • “일차함수”라는 조건을 안 쓴다
    f(x)=(1+x)f′(x)−1 하나만으로는 f가 결정되지 않습니다. f(x)=ax+b (a≠0)로 놓는 순간 문제가 풀립니다. a≠0이라는 단서도 함께 적어 두세요.
  • 좌변 계수 2를 잊고 미분한다
    2∫f(x)dx의 미분은 f(x)가 아니라 2f(x)입니다. 이 2가 있어야 양변에서 f(x)가 하나만 남아 ㉠이 만들어집니다.
  • −x−1의 미분에서 상수를 잘못 처리한다
    −x의 미분은 −1, −1의 미분은 0입니다. 상수항 −1을 그대로 끌고 내려오면 f(x)=(1+x)f′(x)−2 같은 식이 되어 이후가 전부 어긋납니다.
  • 서술형인데 결과만 나열한다
    ①양변 미분 ②f(x) 결정 ③x절편, 이 세 단계가 답안지에 각각 남아야 100%입니다. ㉠㉡㉢처럼 번호를 붙여 두면 채점자가 과정을 놓치지 않습니다.

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