쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 07 함수와 부정적분 사이의 관계식
0785
난이도 하
부정적분과 미분의 관계
곱의 미분법
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난이도 하
부정적분과 미분의 관계
곱의 미분법
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문제를 읽자마자
출제의도
f(x)를 구하지 않고 끝내는 문제 — g(1)만 물었습니다
0784와 같은 골격이지만 목적지가 다릅니다. 앞 문제는 f(x)를 완성해야 했고, 이 문제는 x=1에서의 값 하나만 필요합니다. 그래서 양변을 미분해 g(x)=3x²f(x)+x³f′(x)까지만 만든 뒤 x=1을 대입하면 끝입니다. f(x)의 정체를 알 필요가 없다는 점이 핵심이고, 난이도 하인 이유이기도 합니다. 갈림길은 하나, 우변의 x³f(x)를 곱의 미분법으로 제대로 펼치느냐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 좌변부터 정리하기
∫g(x)dx는 “미분하면 g(x)가 되는 함수”입니다. 그러니 양변을 x에 대하여 미분하면 좌변은 그대로 g(x)가 됩니다.
f(x)가 어떤 함수인지 몰라도 상관없습니다. 미분 한 번이면 g(x)의 정체가 드러납니다.
f(x)가 어떤 함수인지 몰라도 상관없습니다. 미분 한 번이면 g(x)의 정체가 드러납니다.
힌트 2 — 우변은 곱의 미분법
x³f(x)+C를 미분합니다. 적분상수 C는 미분하면 0이니 신경 쓰지 마세요.
(x³f(x))′ = (x³)′f(x) + x³(f(x))′ = 3x²f(x) + x³f′(x). 두 항 중 하나라도 빠지면 답이 달라집니다.
(x³f(x))′ = (x³)′f(x) + x³(f(x))′ = 3x²f(x) + x³f′(x). 두 항 중 하나라도 빠지면 답이 달라집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
g(x) = 3x²f(x) + x³f′(x)에 x=1을 대입하면 g(1) = 3f(1) + f′(1).
주어진 값은 f(1)=2, f′(1)=1입니다. 두 값을 헷갈리지 말고 자리에 맞게 넣으세요.
주어진 값은 f(1)=2, f′(1)=1입니다. 두 값을 헷갈리지 말고 자리에 맞게 넣으세요.
다 풀고 나서
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정답 ⑤ 7
검산용 지름길 — 조건에 맞는 f(x)를 하나 잡아 보기
f(1)=2, f′(1)=1을 만족하는 가장 간단한 함수는 f(x)=x+1입니다.
그러면 x³f(x)=x⁴+x³이고, 미분하면 g(x)=4x³+3x². 따라서 g(1)=4+3=7.
문제의 조건은 f(1)과 f′(1)만 쓰이므로 어떤 f를 잡아도 g(1)은 같습니다. 답을 30초 만에 확인하는 용도로 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
곱의 미분법에서 뒤 항을 빠뜨린다
3x²f(x)만 쓰면 g(1)=3f(1)=6이 되어 ④를 고르게 됩니다. 선택지 ④ 6은 정확히 이 실수를 노린 함정입니다. x³f′(x)를 반드시 함께 쓰세요. -
f(x)를 먼저 구하려고 시간을 쓴다
주어진 정보는 f(1)과 f′(1) 두 개뿐이라 f(x)는 결정되지 않습니다. 애초에 구할 필요도 없습니다. g(x)의 식을 만들고 x=1을 넣으면 끝입니다. -
f(1)과 f′(1)을 바꿔 대입한다
f(1)=2, f′(1)=1입니다. 3f(1)+f′(1)=6+1=7인데, 바꿔 넣으면 3+2=5가 되어 ③으로 빠집니다. 대입 직전에 한 번 더 확인하세요. -
적분상수 C를 살려 둔다
C는 상수이므로 미분하면 0입니다. 우변에 C를 그대로 끌고 가면 미지수가 하나 더 생겨 답이 나오지 않습니다. -
양변을 적분하려 한다
좌변이 이미 부정적분 꼴이므로 여기서 또 적분하면 식이 복잡해질 뿐입니다. 이 유형의 첫 수는 언제나 미분입니다.