쎈미적분1 0789

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 08 부정적분과 함수의 연속성

0789
난이도 중
미분가능성
구간별 정의
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쎈 미적분1 0789번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

“미분가능하다”를 연속이다로 바꿔 읽을 수 있는지 묻는 문제

앞 문항(0788)과 뼈대는 같지만 조건 문장이 한 겹 포장되어 있습니다. 미분가능하면 연속이므로, 미분가능성이라는 말은 곧 x=1에서 좌우 함숫값이 같다는 뜻입니다. 여기서는 f′(x)의 좌우 값이 x=1에서 이미 3으로 일치하고 있으니, 남은 일은 연속조건으로 C₁과 C₂를 잇는 것뿐입니다. 마지막에 f(2)를 어느 쪽 식에 넣는지가 실질적인 분기점입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 구간별로 적분하기
x≥1에서 ∫(4x³−1)dx = x⁴−x+C₁,
x<1에서 ∫(−2x+5)dx = −x²+5x+C₂.
적분상수는 반드시 두 개로 따로 둡니다.
힌트 2 — 주어진 값은 어느 쪽에?
0<1이므로 f(0)=3은 아래쪽 식에 대입합니다.
−0²+5·0+C₂=3 → C₂=3.
위쪽 식에 잘못 넣으면 C₁이 3으로 나와 답이 어긋납니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
미분가능 ⇒ 연속입니다. x=1에서 좌극한과 f(1)이 같아야 하므로
−1+5+3 = 1−1+C₁ → C₁=7.
그리고 2는 1보다 크므로 f(2)는 x⁴−x+7에 넣어야 합니다. 아래쪽 식에 넣지 않도록 주의하세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 f(2) = 21

쎈 미적분1 0789번 해설

다른 풀이 — 적분상수를 아예 구하지 않기

f(2) = f(0) + (0에서 1까지의 변화량) + (1에서 2까지의 변화량)으로 보면
f(2) = 3 + ∫₀¹(−2x+5)dx + ∫₁²(4x³−1)dx = 3 + 4 + 14 = 21.
C₁, C₂를 구하지 않고 한 줄로 끝납니다. 구간별 f′이 주어지고 함숫값 하나가 주어진 문제라면 언제나 쓸 수 있는 방법이니 검산용으로 익혀 두세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(2)를 아래쪽 식에 대입한다
    이 문제의 실제 오답 1순위입니다. 2≥1이므로 f(2)=2⁴−2+7=21. 아래쪽 식에 넣으면 −4+10+3=9라는 그럴듯한 오답이 나옵니다. 대입 직전에 x값과 구간 부등호를 한 번 더 대조하세요.
  • f(0)=3을 x≥1쪽에 넣는다
    0은 1보다 작습니다. 주어진 함숫값의 x가 어느 구간에 속하는지부터 확인하는 것이 이 유형의 첫 동작입니다. 문제지 위에 0과 2를 수직선에 찍어 두면 헷갈리지 않습니다.
  • 적분상수를 하나로 통일한다
    C₁과 C₂는 별개입니다. 하나로 두면 연속조건을 쓸 수 없고, 우연히 답이 맞아도 논리가 틀린 풀이가 됩니다.
  • 미분가능 조건을 f′의 연결로만 쓴다
    x=1에서 f′의 좌우 값은 4−1=3, −2+5=3으로 이미 같습니다. 여기서 새 식을 얻으려 하면 0=0만 나옵니다. 미분가능성이 실제로 주는 정보는 연속, 즉 함숫값의 연결입니다.
  • ∫4x³dx를 x⁴이 아닌 다른 것으로 쓴다
    4x³을 적분하면 x⁴입니다. 미분과 헷갈려 12x²로 쓰거나 계수를 4/4로 나누다 실수하는 경우가 많습니다. 적분한 결과를 다시 미분해 원래 식이 나오는지 확인하세요.

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