쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 04 부정적분과 미분의 관계
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문제를 읽자마자
출제의도
적분 기호가 보이면 양변을 미분하라 — 그 순간 f(x)의 정체가 드러난다
부정적분의 정의를 그대로 쓰는 문제입니다. ∫(피적분함수)dx = (우변)이라면, 양변을 미분했을 때 (피적분함수) = (우변)′이 됩니다. 미분 한 번으로 f(x)가 미지수 a, b를 품은 이차식으로 나오고, 남은 조건 f(0)=4와 f′(−2)=−4가 각각 b와 a를 하나씩 결정합니다. 조건 두 개가 미지수 두 개에 정확히 대응된다는 구조를 읽어내는 것이 핵심입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 손댈 곳은 한 군데뿐
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하세요.
왼쪽은 적분 기호가 벗겨져 f(x)+2x가 되고, 오른쪽은 x³+ax²+bx+C를 미분한 식이 됩니다. 적분상수 C는 미분하면 사라집니다.
왼쪽은 적분 기호가 벗겨져 f(x)+2x가 되고, 오른쪽은 x³+ax²+bx+C를 미분한 식이 됩니다. 적분상수 C는 미분하면 사라집니다.
힌트 2 — f(x)만 남기고 정리
f(x)+2x = 3x²+2ax+b 에서 2x를 오른쪽으로 넘기면
f(x) = 3x² + 2(a−1)x + b.
여기에 f(0)=4를 대입하면 상수항이 바로 결정됩니다. b는 무엇인가요?
f(x) = 3x² + 2(a−1)x + b.
여기에 f(0)=4를 대입하면 상수항이 바로 결정됩니다. b는 무엇인가요?
힌트 3 — 남은 조건은 f′ 쪽
f′(x) = 6x + 2(a−1) 입니다. 여기에 x=−2를 넣으면 −12 + 2(a−1) = −4.
a를 구한 뒤 f(x)를 완성하고, 마지막에 x=3을 대입하세요.
a를 구한 뒤 f(x)를 완성하고, 마지막에 x=3을 대입하세요.
다 풀고 나서
정답과 해설
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정답 55
시간 줄이는 관점 — a는 사실 몰라도 된다
f(x)=3x²+px+q 로 두고 시작해도 됩니다. f(0)=4에서 q=4, f′(x)=6x+p이고 f′(−2)=−12+p=−4에서 p=8.
곧바로 f(x)=3x²+8x+4, f(3)=27+24+4=55. a=5는 p=2(a−1)에서 따라 나오는 값일 뿐, f(3)을 구하는 데는 필요 없습니다. 묻지 않은 문자는 끝까지 추적하지 않는 습관이 시간을 아껴 줍니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
피적분함수를 f(x)로 착각한다
미분해서 얻은 3x²+2ax+b는 f(x)가 아니라 f(x)+2x입니다. 2x를 넘기는 한 줄을 빠뜨리면 일차항이 통째로 틀립니다. 적분 기호 안에 무엇이 들어 있었는지 다시 확인하세요. -
적분상수 C를 미분한 뒤에도 끌고 간다
C는 상수이므로 미분하면 0입니다. 오른쪽 미분 결과에 C가 남아 있으면 안 됩니다. 반대로 적분할 때는 반드시 붙여야 하니, 지금이 미분인지 적분인지 방향을 먼저 확인하는 습관을 들이세요. -
f′(−2)에서 부호를 흘린다
6x에 x=−2를 넣으면 −12입니다. 여기서 +12로 쓰면 2(a−1)=8이 아니라 −16이 되어 a가 완전히 달라집니다. 음수 대입은 반드시 괄호를 쳐서 6·(−2)로 적으세요. -
조건 두 개를 엉뚱한 곳에 쓴다
f(0)=4는 f에, f′(−2)=−4는 f′에 대입하는 조건입니다. f′(0)이나 f(−2)에 넣으면 방정식 자체가 성립하지 않습니다. 프라임(′) 표시가 있는지부터 보고 대입하세요. -
a를 구해 놓고 f(x)에 반영하지 않는다
a=5를 구한 뒤 2(a−1)=8로 되돌려 f(x)=3x²+8x+4를 완성해야 합니다. 2a=10에서 멈추고 x=3을 대입하는 실수가 잦습니다. 최종 답을 쓰기 전에 f(x)의 완성형을 한 줄 더 적어 두세요.