쎈미적분1 0774

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 04 부정적분과 미분의 관계

0774
난이도 상
서술형
부정적분과 미분
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쎈 미적분1 0774번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

미분된 결과가 주어졌으니 양변을 적분하고, 적분상수는 x=0으로 잡는다

앞 문제와 방향이 정반대입니다. 도함수 정보가 주어졌으니 적분해서 원래 식으로 되돌리고, 그때 생기는 적분상수 C₁, C₂를 f(0)=3, g(0)=−3으로 결정합니다. 그러면 합 f+g와 곱 fg를 알게 되고, 곱을 인수분해해 두 일차함수를 찾아내는 문제로 바뀝니다. 서술형이라 ❶ 적분상수로 나타내기 40%, ❷ f, g 구하기 50%, ❸ 값 계산 10%로 배점이 나뉩니다. 과정을 적지 않으면 10점짜리 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 미분의 반대는 적분
두 조건 모두 “무엇을 미분했더니 이렇게 되더라”는 뜻입니다. 양변을 적분하면
f(x)+g(x) = 4x + C₁, f(x)g(x) = 4x² + C₂.
적분상수를 반드시 붙이세요. 이 두 줄이 배점 40%짜리 ❶입니다.
힌트 2 — 상수를 잡는 자리는 x=0
f(0)=3, g(0)=−3이 주어진 이유가 여기 있습니다. 두 식에 x=0을 넣으면
f(0)+g(0) = C₁ = 0, f(0)g(0) = C₂ = −9.
따라서 f+g = 4x, fg = 4x²−9 입니다.
힌트 3 — 곱을 인수분해하고 짝을 맞추기
4x²−9 = (2x+3)(2x−3)이고, 두 일차식의 합은 4x로 조건과 맞습니다.
남은 일은 배정뿐입니다. f(0)=3이므로 f(x)=2x+3, g(x)=2x−3.
이제 x=5를 각각 대입해 차를 구하세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

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정답 6

쎈 미적분1 0774번 해설

채점 기준

❶ f(x)+g(x), f(x)g(x)를 적분상수를 이용하여 나타낼 수 있다 40%
❷ f(x), g(x)를 구할 수 있다 50%
❸ f(5)−g(5)의 값을 구할 수 있다 10%
검산용 지름길 — 합과 곱을 알면 차는 제곱으로

(f−g)² = (f+g)² − 4fg = (4x)² − 4(4x²−9) = 36 이므로 f−g는 항상 ±6인 상수입니다.
x=0에서 f(0)−g(0)=3−(−3)=6>0이니 f−g=6, 곧바로 f(5)−g(5)=6. f, g를 각각 구하지 않아도 답이 나옵니다. 다만 서술형에서는 ❷ “f(x), g(x)를 구할 수 있다”가 50%이므로, 답안에는 두 함수를 명시하고 이 방법은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 적분상수를 빠뜨린다
    f+g=4x, fg=4x²이라고 바로 써 버리면 f(0)=3, g(0)=−3을 쓸 자리가 사라집니다. C₁, C₂를 서로 다른 문자로 붙여 두는 것이 이 문제의 40%입니다.
  • f와 g를 뒤바꿔 배정한다
    (2x+3)(2x−3)에서 어느 쪽이 f인지는 f(0)=3이 결정합니다. 2x−3에 x=0을 넣으면 −3이므로 이쪽이 g입니다. 바꿔 쓰면 답이 −6이 되어 부호만 틀립니다.
  • fg=4x²−9를 두 함수로 쪼갤 근거를 안 쓴다
    f, g가 일차함수라는 문제 조건이 있어야 이차식을 두 일차식의 곱으로 볼 수 있습니다. 이 한 줄을 답안에 남기지 않으면 ❷에서 감점됩니다.
  • f(0)g(0)를 −9가 아닌 9로 계산한다
    3×(−3)=−9입니다. 부호를 놓치면 fg=4x²+9가 되어 실수 범위에서 인수분해가 되지 않고, 그 순간 풀이가 막힙니다. 인수분해가 안 되면 앞의 부호부터 의심하세요.
  • 마지막 뺄셈에서 괄호를 안 친다
    f(5)=13, g(5)=7이므로 13−7=6. 문제가 묻는 것은 f(5)−g(5)이지 f(5)+g(5)가 아닙니다. 구한 값을 답으로 옮겨 적기 전에 문제 문장을 한 번 더 읽으세요.

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