쎈미적분1 0772

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 04 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기

0772
대표 문제
객관식
양변 미분
근과 계수의 관계
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쎈 미적분1 0772번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

∫f(x)dx=g(x) 꼴을 만나면 양변을 미분한다 — 유형 04의 출발 신호

유형 04의 대표 문제답게 이 단원에서 반드시 익혀야 할 두 신호가 한 문제에 다 들어 있습니다. ① 적분기호가 등식 한쪽에 있으면 양변을 미분해 적분기호를 없앤다. ② 미분기호가 있으면 반대로 양변을 적분한다. 여기에 인수분해로 (x+1)을 약분하는 대수 처리와, 마지막에 방정식의 근을 직접 구하지 않고 근과 계수의 관계로 곱을 읽어 내는 마무리까지 얹혀 있습니다. 3단 구성이라고 생각하고 접근하세요.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 적분기호를 없애는 방법
좌변이 ∫(x+1)f′(x)dx 꼴이므로 양변을 x에 대하여 미분합니다.
좌변을 미분하면 적분기호가 사라지고 피적분함수 (x+1)f′(x)가 그대로 남습니다. 곱의 미분법을 쓰는 자리가 아닙니다.
우변 x³−x²−5x를 미분하면 무엇이 되나요?
힌트 2 — 나누지 말고 인수분해
(x+1)f′(x)=3x²−2x−5 입니다. 여기서 f′(x)를 얻으려면 양변을 (x+1)로 나눠야 하는데, 분수로 두지 말고 우변을 먼저 인수분해하세요.
3x²−2x−5=(x+1)(3x−5) — 양변에 (x+1)이 공통이므로 깔끔하게 f′(x)=3x−5가 남습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=3x−5를 적분하면 f(x)=(3/2)x²−5x+C. 여기에 f(2)=−1을 대입해 C를 정합니다.
마지막으로 묻는 것은 f(x)=0의 모든 근의 곱입니다. 이차방정식 ax²+bx+c=0에서 근의 곱은 c/a — 근을 직접 구할 필요가 없습니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 ④ 2

쎈 미적분1 0772번 해설

인수분해가 막힐 때 — 대입으로 찾기

3x²−2x−5를 한눈에 못 쪼개겠다면, 좌변에 (x+1)이 있으니 우변도 x=−1에서 0이 되어야 한다는 점을 이용하세요. 실제로 3+2−5=0이므로 (x+1)이 인수임이 확정되고, 남은 인수는 최고차항 3x²와 상수항 −5를 맞추어 (3x−5)로 바로 읽힙니다.
마무리도 마찬가지입니다. (3/2)x²−5x+3=0의 양변에 2를 곱해 3x²−10x+6=0으로 정리하면 근의 곱은 6/3=2로 더 편하게 나옵니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 좌변에 곱의 미분법을 적용한다
    ∫(x+1)f′(x)dx 전체를 미분하면 적분기호가 지워지고 (x+1)f′(x)가 그대로 남습니다. 여기에 (x+1)′f′(x)+(x+1)f″(x) 같은 식을 쓰는 순간 문제가 완전히 어긋납니다.
  • f′(x)를 분수로 둔 채 적분한다
    f′(x)=(3x²−2x−5)/(x+1) 상태로 적분하려 들면 길이 막힙니다. 이런 문제는 반드시 약분이 되도록 출제되므로, 나누기 전에 우변 인수분해부터 시도하세요.
  • 적분상수 C를 구하지 않고 넘어간다
    f(2)=−1은 C를 정하라고 준 조건입니다. 6−10+C=−1에서 C=3. C를 빼놓으면 f(x)=0의 상수항이 사라져 근의 곱이 0으로 나옵니다.
  • f′(x)=0의 근을 구한다
    문제가 요구한 것은 f(x)=0의 근입니다. f′(x)=3x−5까지만 보고 x=5/3을 답하는 실수가 잦습니다. 반드시 적분해서 f(x)를 완성한 뒤 방정식을 세우세요.
  • 근의 곱과 근의 합을 바꿔 쓴다
    ax²+bx+c=0에서 근의 합은 −b/a, 근의 곱은 c/a입니다. 이 문제의 합은 10/3, 곱은 3÷(3/2)=2. 분수 계수를 나눌 때는 역수를 곱한다는 점도 함께 확인하세요.

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