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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 02 부정적분과 미분의 관계
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문제를 읽자마자
출제의도
“모든 실수 x에 대해 성립한다”는 말은 항등식이라는 뜻 — 좌변을 정리한 뒤 같은 차수의 계수를 하나씩 맞추면 끝
좌변 d/dx∫(ax²+x+3)dx는 공식에 의해 정리 없이 바로 ax²+x+3이 됩니다. 이걸 우변 x²+bx+c와 항등식으로 놓으면 x²항, x항, 상수항이 각각 같아야 하므로 a, b, c가 곧바로 나옵니다. 난이도는 하지만, 항등식의 의미를 정확히 알아야 계수를 헷갈리지 않고 맞출 수 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 좌변부터 정리하기
d/dx∫(ax²+x+3)dx를 d/dx∫g(x)dx=g(x) 공식으로 바꾸면 무엇이 남나요? 실제 적분 계산은 필요 없습니다.
힌트 2 — 항등식이라는 것의 의미
“모든 실수 x에 대해 성립”은 좌변과 우변에서 같은 차수의 계수가 각각 같다는 뜻입니다. x²항끼리, x항끼리, 상수항끼리 짝지어 보세요.
힌트 3 — a, b, c 확정 후 더하기
세 상수를 각각 구했다면 마지막은 단순한 덧셈입니다. 부호 없이 세 수를 그대로 더하면 답이 나옵니다.
다 풀고 나서
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정답 ③ 5
검산용 한 줄 — a에 대입해서 확인
a=1, b=1, c=3을 구했다면, 원래 등식 ax²+x+3=x²+bx+c에 그대로 넣어 좌우변이 완전히 같은 식이 되는지 확인해 보세요. a+b+c=1+1+3=5.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
좌변이 “그대로 나온다”는 걸 모르고 다시 적분한다
d/dx∫(ax²+x+3)dx는 공식에 의해 곧바로 ax²+x+3입니다. 실제로 부정적분을 계산한 뒤 다시 미분하려 하면 적분상수 C를 잘못 다루기 쉽습니다. -
x²의 계수와 x의 계수를 헷갈린다
좌변의 x²계수는 a, x계수는 1(암묵적으로 계수 1인 x)입니다. 이 둘의 자리를 바꿔 b=a로 착각하지 않도록 주의하세요. -
상수항 비교에서 3과 c를 바꿔 쓴다
좌변의 상수항은 3, 우변의 상수항은 c입니다. c=3이 맞는데, 이를 반대로 적어 다른 값을 대입하는 실수가 나옵니다. -
a+b+c를 구할 때 b 값을 잘못 넣는다
b는 x의 계수인 1입니다. a나 c와 값을 혼동해 1이 아닌 다른 수를 더하지 않도록, 세 값을 구한 직후 바로 옆에 적어두고 더하세요.
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