쎈미적분1 0764

작성자:


쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 02 부정적분과 미분의 관계

0764
대표 문제
선택형
부정적분과 미분의 관계
풀이영상 있음

먼저 보기

풀이영상

쎈 미적분1 0764번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

적분하고 다시 미분하는 게 아니라, d/dx∫f(x)dx는 그 자리에서 바로 f(x)로 바뀐다는 공식을 확인하는 문제

F(x)=d/dx∫xf(x)dx라는 식을 보면 “적분부터 계산해야 하나?” 하고 멈칫하기 쉽습니다. 하지만 미분과 부정적분이 서로 상쇄되는 공식 하나만 알면 F(x)는 곧바로 xf(x)로 정리됩니다. 유형02의 대표문제답게, 실제 적분 계산 없이 공식 적용만으로 끝나는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 미분·적분 기호부터 지우기
d/dx∫g(x)dx = g(x)라는 공식을 그대로 적용하면 F(x)는 무엇으로 바뀌나요?
실제로 부정적분을 계산할 필요는 전혀 없습니다.
힌트 2 — xf(x) 전개하기
f(x)=5x²−8x에 x를 곱하면 어떤 삼차식이 나오나요?
각 항의 지수를 하나씩 올려가며 정리하세요.
힌트 3 — F(2) 대입
완성한 삼차식에 x=2를 대입할 때, 각 항을 따로 계산한 뒤 마지막에 더하세요.
2³과 2²을 헷갈리지 않도록 주의하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ② 8

쎈 미적분1 0764번 해설

핵심 한 줄 — 공식이 곧 지름길

F(x)=d/dx∫xf(x)dx=xf(x)=x(5x²−8x)=5x³−8x². 이 문제는 애초에 적분 계산 자체가 없는 문제라서, 공식을 안 순간 절반은 끝난 셈입니다. F(2)=5·8−8·4=40−32=8.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • ∫xf(x)dx를 실제로 적분하려 든다
    공식에 의해 애초에 적분할 필요가 없습니다. 5x³/3−4x²처럼 실제 부정적분 형태를 만들려 하면 시간만 낭비하고 오히려 계산 실수가 늘어납니다.
  • xf(x) 전개에서 부호를 놓친다
    x(5x²−8x)=5x³−8x²입니다. x·(−8x)=−8x²에서 부호를 빼먹고 +8x²로 쓰면 이후 계산이 전부 틀립니다.
  • 2³을 6으로 잘못 계산한다
    2³=8입니다. 지수를 곱셈으로 착각해 2×3=6으로 계산하는 실수가 자주 나옵니다.
  • 8×2²을 8×2로 계산한다
    2²=4를 빼먹고 8×2=16으로 계산하면 F(2)=40−16=24처럼 완전히 다른 값이 나옵니다. 제곱을 먼저 계산하는 순서를 지키세요.
  • 마지막 뺄셈의 순서를 바꾼다
    F(2)=40−32이지 32−40이 아닙니다. 앞에 오는 항이 xf(x)의 x³항에서 나온 값임을 기억하고 순서를 그대로 유지하세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기