쎈미적분1 0766

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 02 부정적분과 미분의 관계

0766
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근과 계수의 관계
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쎈 미적분1 0766번 문제

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출제의도

두 개의 d/dx∫…dx를 각각 정리해 삼차방정식 하나로 합친 뒤, 근을 직접 구하지 않고 근과 계수의 관계로 합만 빠르게 구하는 문제

좌변의 두 항 모두 미분·적분 공식으로 정리 없이 그대로 원래식이 되어 3x³+4x²−5x−2=0이라는 삼차방정식이 만들어집니다. 직접 인수분해해서 근을 하나씩 구해도 풀리지만, 삼차방정식 ax³+bx²+cx+d=0의 세 근의 합이 −b/a라는 공식을 알면 계산 없이 바로 답이 나오는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 두 식 각각 정리하기
d/dx∫(4x²−5x)dx와 d/dx∫(3x³−2)dx는 공식에 의해 각각 무엇이 되나요? 그대로 옮겨 적으면 됩니다.
힌트 2 — 하나의 삼차방정식으로 합치기
두 식을 더해서 내림차순으로 정리하면 3x³+4x²−5x−2=0 꼴이 나옵니다. 항을 하나씩 놓치지 말고 합치세요.
힌트 3 — 근과 계수의 관계
삼차방정식 ax³+bx²+cx+d=0에서 세 근의 합은 −b/a입니다. 직접 인수분해하지 않아도 계수만으로 구할 수 있어요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ① −4/3

쎈 미적분1 0766번 해설

검산용 — 인수분해로 직접 확인

3x³+4x²−5x−2=0을 인수분해하면 (x+2)(3x+1)(x−1)=0. 세 근은 −2, −1/3, 1이고 이를 직접 더해도 −2+(−1/3)+1=−4/3으로 같은 값이 나옵니다. 근과 계수의 관계가 아직 익숙하지 않다면 이 방법으로 검산하세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 두 식을 합칠 때 부호를 하나 놓친다
    (4x²−5x)+(3x³−2)를 정리하는 과정에서 −5x를 +5x로 옮겨 적으면 이후 방정식 자체가 달라집니다. 항을 하나씩 옮기며 부호를 확인하세요.
  • 근과 계수의 관계에서 부호를 빼먹는다
    세 근의 합은 −b/a이지 b/a가 아닙니다. 부호를 빼먹고 −4/3 대신 4/3으로 답하는 게 가장 흔한 실수입니다.
  • 최고차항 계수로 나누는 것을 잊는다
    이차항 계수 4만 보고 그대로 −4를 답으로 쓰면 안 됩니다. 반드시 최고차항 계수 3으로 나눠 −4/3을 만들어야 합니다.
  • 인수분해로 검산할 때 부호를 놓친다
    (3x+1)=0에서 x=−1/3이지 1/3이 아닙니다. 검산 과정에서 부호를 다시 놓치면 애써 확인한 의미가 없어집니다.


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