쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 01 부정적분의 정의
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출제의도
F(x)를 미분해서 f(x)를 만든 다음, 조건 두 개를 순서대로 대입하라는 문제
부정적분의 정의를 거꾸로 묻는 유형입니다. F(x)=x³+ax²+bx가 f(x)의 부정적분이라는 말은 F'(x)=f(x)라는 뜻이므로, 먼저 F(x)를 미분해 f(x)=3x²+2ax+b를 만드는 것이 출발점입니다. 이후 f(0)=3, f'(0)=1 두 조건을 각각 대입해 b와 a를 순서대로 구하면 됩니다. 서술형이라 b를 구하는 과정에 50%, a를 구하는 과정에 40%가 배점되어 있어, 답 ab=3/2 자체보다 미분 과정을 얼마나 정확히 적었는지가 점수를 가릅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 부정적분이라는 말을 미분으로 바꾸기
“F(x)가 f(x)의 부정적분”이라는 문장은 F'(x)=f(x)라는 뜻입니다.
F(x)=x³+ax²+bx를 그대로 미분해서 f(x)를 x와 a, b로 나타내는 것부터 시작하세요.
F(x)=x³+ax²+bx를 그대로 미분해서 f(x)를 x와 a, b로 나타내는 것부터 시작하세요.
힌트 2 — f(0)=3부터 대입
f(x)=3x²+2ax+b에 x=0을 대입하면 상수항 b만 남습니다.
f(0)=3이라는 조건으로 b의 값을 먼저 확정하세요.
f(0)=3이라는 조건으로 b의 값을 먼저 확정하세요.
힌트 3 — f'(0)=1로 a까지
f(x)를 한 번 더 미분한 f'(x)=6x+2a에 x=0을 대입하면 f'(0)=2a입니다.
f'(0)=1이므로 2a=1, a=1/2. 마지막으로 ab를 곱해서 답을 완성하고, 답안지에 b→a→ab 순서가 모두 남아 있는지 확인하세요.
f'(0)=1이므로 2a=1, a=1/2. 마지막으로 ab를 곱해서 답을 완성하고, 답안지에 b→a→ab 순서가 모두 남아 있는지 확인하세요.
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해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ab = 3/2
채점 기준
| ❶ b의 값을 구할 수 있다 | 50% |
| ❷ a의 값을 구할 수 있다 | 40% |
| ❸ ab의 값을 구할 수 있다 | 10% |
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
F(x)를 미분하지 않고 바로 대입한다
F(0)=3, F'(0)=1로 착각해 x³+ax²+bx에 그대로 대입하면 처음부터 틀립니다. f(x)=F'(x)=3x²+2ax+b로 한 번 미분한 식에 조건을 넣어야 합니다. -
f'(x)를 구할 때 상수항 b를 남긴다
f(x)=3x²+2ax+b를 다시 미분하면 상수 b는 사라져 f'(x)=6x+2a입니다. b가 그대로 남아 있으면 f'(0)에 b가 끼어들어 a 값이 틀어집니다. -
b와 a를 구하는 순서를 바꾼다
f'(0)=1을 먼저 쓰면 2a+b′ 형태로 헷갈리기 쉽습니다. f(0)=3으로 b부터 확정하고, 그다음 f'(0)=1로 a를 구하는 순서를 지키세요. -
2a=1에서 a=2로 잘못 쓴다
양변을 2로 나누는 계산에서 자주 뒤집힙니다. 2a=1이면 a=1/2입니다. 분수 답을 정수로 바꿔 쓰지 않도록 주의하세요. -
ab 대신 a+b를 답으로 쓴다
문제가 요구하는 것은 곱 ab=(1/2)×3=3/2입니다. 마지막 줄에서 무엇을 구하라고 했는지 다시 한번 확인한 뒤 답을 마무리하세요.