쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 01 부정적분의 정의
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문제를 읽자마자
출제의도
같은 함수의 부정적분끼리는 상수 차이뿐이라는 사실을 이용하는 문제
F(x)와 G(x)가 둘 다 f(x)의 부정적분이면 두 함수는 상수 k만큼만 다릅니다. 즉 F(x)-G(x)=k. F(x) 식이 주어져 있고 G(0)=1이라는 조건이 있으니, x=0을 대입해 k부터 구한 뒤 G(x)=F(x)-k로 되돌려 G(1)을 계산하면 됩니다. f(x)를 따로 적분해서 G(x)를 구하는 방법도 가능하지만, 상수 차이 관계를 이용하는 쪽이 계산이 훨씬 짧습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 부정적분의 관계부터
F(x)와 G(x)가 같은 함수 f(x)의 부정적분이면, F(x)-G(x)=k (k는 상수)로 둘 수 있습니다.
이 관계식이 이 문제를 푸는 전부입니다.
이 관계식이 이 문제를 푸는 전부입니다.
힌트 2 — x=0을 대입해 k 구하기
k=F(0)-G(0)입니다.
F(0)은 주어진 F(x)=x³-x²+3x-2에 x=0을 대입해서, G(0)은 문제에서 준 값 1을 그대로 사용하세요.
F(0)은 주어진 F(x)=x³-x²+3x-2에 x=0을 대입해서, G(0)은 문제에서 준 값 1을 그대로 사용하세요.
힌트 3 — G(x)로 되돌려서 G(1) 계산
G(x)=F(x)-k로 정리한 다음 x=1을 대입하면 G(1)이 바로 나옵니다.
이때 F(1)을 먼저 구해 F(1)-k로 계산해도 같은 답이 나오니, 계산이 편한 쪽을 선택하세요.
이때 F(1)을 먼저 구해 F(1)-k로 계산해도 같은 답이 나오니, 계산이 편한 쪽을 선택하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 G(1) = 4
다른 풀이 — f(x)를 직접 적분해서 G(x) 구하기
f(x)=F'(x)=(x³-x²+3x-2)’=3x²-2x+3이므로 G(x)=∫f(x)dx=x³-x²+3x+C.
G(0)=1이므로 C=1, 따라서 G(x)=x³-x²+3x+1이고 G(1)=1-1+3+1=4로 같은 답을 얻습니다. 두 방법 모두 결과가 같으니, 상수 차이 관계가 익숙하지 않다면 이쪽으로 검산하세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
F(x)와 G(x)를 서로 같은 함수로 착각한다
둘은 같은 f(x)의 부정적분일 뿐, 식 자체는 다릅니다. G(0)=1이라는 별도 조건이 주어진 이유가 여기에 있으니, F(x) 식을 G(x)에 그대로 쓰지 않도록 주의하세요. -
k=F(0)-G(0)의 부호를 반대로 쓴다
F(x)-G(x)=k라고 정의했으면 k는 반드시 F(0)-G(0)입니다. G(0)-F(0)으로 뒤집어 쓰면 이후 G(x)=F(x)-k에서 부호가 전부 어긋납니다. -
F(0) 계산에서 부호를 놓친다
F(0)=0-0+0-2=-2입니다. 상수항 -2를 빠뜨리거나 부호를 바꿔 쓰는 실수가 잦으니, x=0을 대입한 결과가 상수항 그대로라는 점을 확인하세요. -
G(x)=F(x)-k에서 k를 다시 더한다
k=-3이 나왔다고 해서 G(x)=F(x)-3으로 쓰면 부호가 틀립니다. G(x)=F(x)-k=F(x)-(-3)=F(x)+3이 되어야 합니다. 음수 k를 대입할 때 특히 조심하세요. -
다른 풀이에서 적분상수 C와 조건 G(0)을 혼동한다
∫f(x)dx=x³-x²+3x+C까지 구한 뒤 C를 그냥 0으로 두면 안 됩니다. 반드시 G(0)=1이라는 조건을 대입해 C=1임을 확인하고 넘어가세요.