쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 01 부정적분의 정의
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난이도 하
부정적분의 정의
적분상수
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문제를 읽자마자
출제의도
부정적분이 둘 등장하면, 둘의 차는 항상 상수다
f(x)를 전혀 모르는데도 답이 나오는 이유는 하나입니다. F와 G가 같은 f의 부정적분이면 F(x)−G(x)는 x가 무엇이든 같은 값, 즉 상수 k이기 때문입니다. 그래서 x=3에서 잰 차이가 곧 x=1에서의 차이가 됩니다. f를 구하려 들지 말고 차를 하나의 상수로 묶는 것이 이 문제의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f를 구할 필요가 없다
주어진 것은 F(3)=9, G(3)=5 두 값뿐입니다. 이것으로 f(x)를 알아낼 방법은 없습니다.
그렇다면 문제는 f를 몰라도 풀리도록 설계된 것입니다. F와 G의 관계에 집중하세요.
그렇다면 문제는 f를 몰라도 풀리도록 설계된 것입니다. F와 G의 관계에 집중하세요.
힌트 2 — 두 부정적분의 차
F′(x)=f(x), G′(x)=f(x)이므로 {F(x)−G(x)}′=f(x)−f(x)=0입니다.
도함수가 0인 함수는 상수함수입니다. 그래서 F(x)−G(x)=k (k는 상수)로 놓을 수 있습니다.
도함수가 0인 함수는 상수함수입니다. 그래서 F(x)−G(x)=k (k는 상수)로 놓을 수 있습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
k는 x와 무관하므로 아무 x에서나 구하면 됩니다. 값을 아는 x=3을 쓰세요.
k=F(3)−G(3)=9−5. 그리고 F(1)−G(1) 역시 같은 k입니다.
k=F(3)−G(3)=9−5. 그리고 F(1)−G(1) 역시 같은 k입니다.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ② (F(1)−G(1)=4)
한 줄로 정리하는 관점 — 그래프는 위아래로 평행이동
같은 f를 도함수로 갖는 함수들은 모양이 완전히 같고 세로로만 어긋난 그래프입니다. F가 G보다 항상 4만큼 위에 있다면, x=3에서도 4, x=1에서도 4, 어디서 재도 4입니다. 이 그림이 머릿속에 있으면 “x=1에서 다시 계산해야 하나?”라는 고민 자체가 생기지 않습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
F(x)=G(x)라고 생각한다
둘 다 f의 부정적분이지만 같은 함수는 아닙니다. 적분상수가 다르므로 차이가 상수 k만큼 납니다. F=G로 보면 답이 0이 되어 선지에 없는 값이 나옵니다. -
f(x)를 먼저 구하려고 시간을 쓴다
주어진 조건으로는 f를 결정할 수 없습니다. F(3), G(3) 두 값만으로 f를 찾으려 붙잡고 있으면 시간만 날립니다. 차를 상수로 묶는 순간 끝나는 문제입니다. -
k를 G(3)−F(3)으로 계산한다
묻는 것은 F(1)−G(1)이므로 k도 F(3)−G(3)=9−5=4 순서로 잡아야 합니다. 5−9=−4로 두면 부호가 뒤집혀 선지에 없는 값이 나옵니다. -
x=1에서 값을 새로 구해야 한다고 믿는다
F(1)이나 G(1)의 값은 구할 수도 없고 구할 필요도 없습니다. 필요한 것은 두 값의 차뿐이고, 그 차는 x에 상관없이 일정합니다. -
4를 구해 놓고 ④번을 고른다
이 문제 선지에서 4는 ②번입니다. ④번은 8입니다. 값과 번호가 겹쳐 보이는 배치라 실수가 잦으니, 마킹 전에 선지를 손으로 짚어 확인하세요.