쎈미적분1 0710

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 17

0710
대표 문제
시각에 대한 길이의 변화율
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가로등 아래에서 걸어가는 사람의 그림자 — 길이의 변화율

키 1.8 m인 사람이 높이 3 m인 가로등 바로 밑에서 출발해 매초 2 m의 속도로 일직선으로 걸어갑니다. 이때 이 사람의 그림자의 길이의 변화율을 구하는 문제입니다. (선택지: 1.2 / 1.8 / 2.4 / 3 / 3.6 m/s)

문제를 읽자마자

출제의도

미분이 아니라 관계식 세우기가 채점 포인트인 문제

t가 문제 어디에도 나오지 않지만, 실제로 물어보는 것은 dy/dt입니다. 즉 “그림자 길이 y를 t의 식으로 만들어라”가 전부입니다. 도구는 미적분이 아니라 중2 닮음이고, 미분은 마지막 한 줄에서만 씁니다. 변화율 단원의 첫 관문은 언제나 그림에서 비례식을 뽑아내는 힘입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 문자부터 정하기
그림에 문자가 하나도 없으면 계산이 시작되지 않습니다. t초 동안 사람이 움직인 거리를 x m, 그림자의 길이를 y m로 놓으세요.
사람은 매초 2 m로 걸으므로 x와 t 사이에는 어떤 관계가 있나요?
힌트 2 — 닮음 찾기
가로등 끝 A, 밑 C, 그림자 끝 B, 사람의 머리 D, 발 E를 잡으면 △ABC ∽ △DBE (AA 닮음)입니다.
높이의 비가 3 : 1.8이고, 밑변은 그림자 끝에서 잰 거리이므로 3 : 1.8 = (x+y) : y. 여기서 y를 x로만 나타내 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
3y = 1.8x + 1.8y에서 1.2y = 1.8x, 즉 y = (3/2)x입니다.
이제 x = 2t를 대입하면 y가 t만의 식이 됩니다. 그다음 t로 미분하세요. 상수를 미분하는 것이 아니라 1차식을 미분하는 것이므로 답은 t에 의존하지 않습니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  3 m/s

쎈 미적분1 0710번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 연쇄법칙으로 한 줄

y = (3/2)x까지만 세워 두고 t를 아예 대입하지 않아도 됩니다.
dy/dt = (dy/dx)·(dx/dt) = (3/2)×2 = 3 (m/s).
“그림자는 사람보다 항상 1.5배 빠르게 늘어난다”는 비율만 잡으면 걷는 속도가 바뀌어도 즉답이 가능합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “그림자 길이”와 “그림자 끝의 속도”를 혼동한다
    그림자 끝이 움직이는 속도는 d(x+y)/dt = 2+3 = 5 m/s입니다. 문제가 물은 것은 y의 변화율이므로 3 m/s. 무엇을 미분하는지 문자로 먼저 못 박으세요.
  • 닮음비의 밑변 대응을 틀린다
    3 : 1.8 = x : y로 놓으면 오답입니다. 큰 삼각형의 밑변은 그림자 끝에서 가로등까지인 x+y입니다. 대응변은 반드시 “같은 꼭짓점에서 잰 길이”끼리 짝지으세요.
  • x = 2t를 대입하지 않고 dy/dx로 끝낸다
    3/2를 답으로 적으면 ①~⑤ 어디에도 없습니다. 3/2는 “거리에 대한 변화율”이고, 문제는 “시각에 대한 변화율”입니다. 분모가 dt인지 dx인지 확인하세요.
  • 1.8을 단위 없이 그냥 두고 cm와 m를 섞는다
    키 1.8 m, 가로등 3 m, 속도 2 m/s로 단위가 이미 통일되어 있습니다. 굳이 cm로 바꾸면 비만 복잡해집니다. 답의 단위는 m/s로 적으세요.
  • t의 값을 물었다고 착각해 특정 시각을 찾는다
    y = 3t는 1차식이라 dy/dt = 3으로 t와 무관합니다. “몇 초 후”라는 조건이 없는 문제는 대부분 이 구조이니, 답에 t가 남으면 관계식을 다시 보세요.


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