쎈미적분1 0709

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용(3)

0709
난이도 상
위치 그래프의 해석
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쎈 미적분1 0709번 문제

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출제의도

한 그림에서 만난다·속력·움직인 거리 세 단어를 각각 다른 방식으로 읽어 내라는 문제

같은 위치 그래프인데 ㄱ은 교점으로, ㄴ은 접선의 기울기로, ㄷ은 구간에서의 세로 증가량으로 읽어야 합니다. 세 번 모두 다른 도구를 꺼내 쓰는 것이 이 문항의 난도이고, 특히 ㄷ에서 ‘위치가 높다’와 ‘많이 움직였다’를 섞어 버리는지를 봅니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — ㄱ, 만난다는 뜻
두 점이 만난다는 것은 같은 시각에 위치가 같다는 뜻, 즉 f(t)=g(t)입니다. 그래프에서는 두 곡선의 교점이지요.
그림에서 교점의 t좌표를 찾아보세요. ‘적어도 2번’이라는 표현이 왜 안전한 진술인지도 생각해 보세요.
힌트 2 — ㄴ, 속력은 기울기
속도는 f′(t), 그래프에서는 접선의 기울기입니다. ㄴ은 두 점을 비교하는 것이 아니라 점 P 하나만 t=4와 t=8에서 비교합니다.
f의 곡선은 오른쪽으로 갈수록 완만해지고 있나요, 가팔라지고 있나요?
힌트 3 — ㄷ, 높이가 아니라 상승량
4≤t≤8에서 두 점 모두 방향을 바꾸지 않으므로 움직인 거리는 위치의 변화량, 즉 f(8)−f(4)와 g(8)−g(4)입니다.
t=4에서는 f가 위에 있는데 t=8에서는 두 곡선이 만납니다. 그 사이에 어느 쪽이 더 많이 올라온 걸까요?

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ㄱ, ㄴ

쎈 미적분1 0709번 해설

더 빠른 길 — ㄷ은 ‘따라잡았는가’로 판정

t=4에서는 f가 g보다 위에 있고, t=8에서 두 곡선이 만납니다. 뒤처져 있던 Q가 P를 따라잡은 것이므로 그 구간의 상승량은 g 쪽이 더 큽니다.
계산도 눈금도 필요 없이 ㄷ은 거짓. 위치 그래프 문제에서 “누가 더 많이 움직였나”는 항상 두 끝점의 높이 차이로 판정하세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • ㄷ에서 ‘위에 있다’를 ‘많이 움직였다’로 읽는다
    이 문항의 핵심 함정입니다. 그래프의 높이는 그 시각의 위치일 뿐, 구간에서 움직인 거리는 양 끝 위치의 차이입니다.
  • ㄴ에서 P와 Q를 비교해 버린다
    ㄴ은 점 P의 t=4와 t=8을 비교합니다. g의 그래프는 아예 볼 필요가 없습니다. 보기의 주어가 하나인지 둘인지부터 확인하세요.
  • 위치 그래프를 속도 그래프로 착각해 넓이를 잰다
    세로축이 f(t), g(t)이므로 위치입니다. 넓이는 아무 의미가 없고, 필요한 것은 기울기와 세로 증가량뿐입니다.
  • ‘적어도 2번’을 ‘정확히 2번’으로 읽는다
    그림에 보이는 교점이 두 개이면 ‘적어도 2번’은 참입니다. 그림 바깥에서 더 만날 가능성은 이 진술을 깨뜨리지 않습니다.
  • 속력과 속도를 구분하지 않는다
    속력은 속도의 절댓값입니다. 여기서는 두 함수 모두 증가해 부호가 같아 문제가 없지만, 감소 구간이 섞인 그래프에서는 반드시 절댓값으로 비교해야 합니다.

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