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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용 · 유형 18
0712
대표 문제
시각에 대한 넓이의 변화율
풀이영상 있음
대표 문제
시각에 대한 넓이의 변화율
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호수에 돌을 던졌을 때 퍼지는 동심원 — 넓이의 변화율
가장 바깥쪽 원의 반지름이 매초 10 cm씩 길어질 때, 돌을 던진 지 2초 후 가장 바깥쪽 원의 넓이의 변화율을 aπ cm²/s라 합니다. 이때 상수 a의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 읽자마자
출제의도
반지름을 t의 식으로 바꾼 뒤에 넓이 공식을 쓰라는 문제
넓이 공식 S=πr²은 누구나 압니다. 갈리는 지점은 r 자리에 무엇을 넣느냐입니다. “매초 10 cm씩”은 속도이지 반지름이 아니므로, t초 후의 반지름은 10t입니다. 이 한 번의 치환을 거쳐야 S가 t의 함수가 되고, 그제서야 미분할 대상이 생깁니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 t로 나타낼까
지금 t의 함수인 것은 넓이가 아니라 반지름입니다.
처음 반지름이 0이고 매초 10 cm씩 늘어나므로, t초 후의 반지름은 얼마인가요? “10”이 아니라 t가 들어간 식이어야 합니다.
처음 반지름이 0이고 매초 10 cm씩 늘어나므로, t초 후의 반지름은 얼마인가요? “10”이 아니라 t가 들어간 식이어야 합니다.
힌트 2 — 넓이 식 세우기
반지름이 10t cm이므로 넓이를 S cm²라 하면 S = π(10t)²입니다.
괄호를 그대로 두지 말고 S = 100πt²로 펼쳐 두세요. 여기서 100π는 상수이고 미분 대상은 t²뿐입니다.
괄호를 그대로 두지 말고 S = 100πt²로 펼쳐 두세요. 여기서 100π는 상수이고 미분 대상은 t²뿐입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
dS/dt = 200πt. 미분을 먼저 하고 나서 t=2를 대입하세요.
값은 400π (cm²/s)입니다. 그리고 문제가 요구한 것은 변화율이 아니라 a라는 점을 다시 확인하세요. aπ = 400π이므로 a는?
값은 400π (cm²/s)입니다. 그리고 문제가 요구한 것은 변화율이 아니라 a라는 점을 다시 확인하세요. aπ = 400π이므로 a는?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = 400
풀이영상
더 빠른 길 — 합성함수 미분(연쇄법칙)
S = πr², dr/dt = 10이므로 dS/dt = (dS/dr)·(dr/dt) = 2πr × 10 = 20πr.
t=2일 때 r = 20 cm이므로 dS/dt = 20π×20 = 400π.
“넓이의 변화율 = 둘레 × 반지름의 변화율”이라는 구조가 보이면, 반지름 조건이 복잡해져도 전개 없이 바로 대입할 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
반지름을 10으로 놓는다
10 cm/s는 속도입니다. 반지름은 10t. S = π·10² = 100π로 두면 t가 사라져 미분값이 0이 됩니다. 답이 0이나 상수로 나오면 이 실수입니다. -
t = 2를 미분하기 전에 대입한다
S = 100π·4 = 400π는 그냥 2초일 때의 넓이일 뿐입니다. 넓이와 넓이의 변화율은 다릅니다. 반드시 미분한 뒤 대입하세요. -
a에 π까지 포함시켜 400π로 답한다
단위까지 붙은 값은 400π cm²/s이고, 문제는 aπ의 a를 물었습니다. 정답은 400. “구한 것”과 “물은 것”을 마지막에 한 번 더 대조하세요. -
지름과 반지름을 바꿔 쓴다
“반지름의 길이가 매초 10 cm씩”이므로 r = 10t입니다. 지름으로 착각해 r = 5t로 두면 넓이가 1/4로 줄어 a = 100이 나옵니다. -
단위를 확인하지 않고 넘어간다
길이가 cm이므로 넓이의 변화율 단위는 cm²/s입니다. 서술형이라면 단위 누락도 감점 대상이니 답 옆에 반드시 붙이세요.
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