쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 속도와 가속도
0698
대표 문제
유형 13 · 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리
풀이영상 있음
대표 문제
유형 13 · 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리
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유형 13 — 이 유형의 뼈대
움직이는 물체가 제동을 건 후 t초 동안 움직인 거리를 x m라 할 때
① 제동을 건 지 t초 후의 속도 ⟹ dx/dt (m/s)
② 물체가 정지할 때의 속도 ⟹ 0
문제를 읽자마자
출제의도
정지 조건은 속도 0, 묻는 것은 거리 — 구한 t를 다시 x에 넣으라는 문제
x가 처음부터 “제동 후 움직인 거리”로 주어져 있습니다. 그래서 할 일은 두 걸음뿐입니다. 미분해서 v=0이 되는 시각을 찾고, 그 시각을 원래의 x에 되돌려 넣는 것. 유형 13의 모든 문제가 이 구조 위에 서 있으므로, 대표 문제인 이 문항에서 순서를 몸에 익혀 두세요.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — “정지한다”를 식으로
열차가 멈춘다는 말은 거리 x에 대한 조건이 아니라 속도에 대한 조건입니다. 정지하는 순간의 속도는 0입니다.
그러니 가장 먼저 할 일은 v=dx/dt를 구하는 것입니다.
그러니 가장 먼저 할 일은 v=dx/dt를 구하는 것입니다.
힌트 2 — 미분 계수 챙기기
v=dx/dt=12−0.8t입니다. 0.4t²을 미분하면 계수가 2배가 되어 0.8t가 된다는 점만 정확히 하면 됩니다.
이제 v=0을 풀면 멈추는 시각 t가 나옵니다.
이제 v=0을 풀면 멈추는 시각 t가 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t=15는 답이 아니라 중간 결과입니다. 문제가 물은 것은 그 시간 동안 움직인 거리이므로, x=12t−0.4t²에 t=15를 되돌려 넣으세요.
0.4×15²의 계산에 주의하고, 단위 m도 함께 적으세요.
0.4×15²의 계산에 주의하고, 단위 m도 함께 적으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 90 m
더 빠른 길 — 미분 없이 꼭짓점으로
제동 거리는 결국 x의 최댓값입니다. x=12t−0.4t²=−0.4(t²−30t)=−0.4(t−15)²+90.
위로 볼록한 포물선이므로 t=15에서 최댓값 90. 이차함수의 완전제곱만으로도 같은 답이 나오므로, 시험장에서 계산을 검산할 때 유용합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
15초를 답으로 적는다
v=0에서 나온 t=15는 “멈출 때까지 걸린 시간”입니다. 이 문제가 물은 것은 거리이므로 한 걸음이 더 남아 있습니다. -
0.4t²을 미분해 0.4t로 쓴다
지수 2가 앞으로 내려와 0.8t입니다. t가 15가 아니라 30으로 나왔다면 여기서 어긋난 것입니다. -
0.4×15²를 잘못 계산한다
15²=225, 0.4×225=90. 그리고 12×15=180이므로 180−90=90입니다. 180을 그대로 답으로 적는 실수가 잦습니다. -
x를 “위치”로 보고 x(15)−x(0)을 계산하려 한다
여기서 x는 처음부터 제동 후 움직인 거리 자체입니다. 빼는 과정 없이 t=15를 넣은 값이 곧 답입니다. -
단위 m을 빠뜨린다
거리를 묻는 문제입니다. 서술형·주관식에서 단위 누락은 그대로 감점입니다.