쎈미적분1 0697

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06단원 속도와 가속도

0697
난이도 상
서술형
운동 방향과 가속도
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쎈 미적분1 0697번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

미지수 2개를 조건 2개로 잡고, 방향이 바뀌는 다른 시각에서 가속도를 읽으라는 문제

“운동 방향을 바꾼다”는 위치가 아니라 속도에 대한 말입니다. t=1이라는 순간을 v(1)=0으로, “그때의 위치가 3″을 x(1)=3으로 옮기면 m, n이 결정됩니다. 여기까지가 배점 40%이고, 나머지는 속도를 인수분해해 남은 근을 찾은 뒤 한 번 더 미분하는 일뿐입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 말을 식으로 옮기기
미지수가 m, n 두 개이므로 조건도 두 개가 필요합니다. 문제 문장에는 정확히 두 개가 숨어 있습니다.
① 운동 방향을 바꾼다 ⟹ 속도가 0, ② 그때의 위치가 3 ⟹ 원래 식 x에 t=1 대입. 먼저 v=dx/dt부터 구하세요.
힌트 2 — 연립해서 m, n 잡기
v=6t²+2mt+n이므로 t=1에서 6+2m+n=0. 그리고 x(1)=2+m+n+3=3에서 m+n=−2.
두 식을 빼면 미지수 하나가 바로 사라집니다. 상수항 3을 빠뜨리지 않았는지 한 번 더 확인하세요.
힌트 3 — 남은 시각, 그리고 한 번 더 미분
v=6t²−8t+2를 2(3t−1)(t−1)로 묶으면 t=1 말고 또 하나의 시각이 보입니다.
가속도는 속도를 다시 미분한 a=dv/dt입니다. 대입할 t는 1이 아니라는 점만 놓치지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 −4

쎈 미적분1 0697번 해설 1
쎈 미적분1 0697번 해설 2

서술형 채점 기준

❶ m, n의 값을 구할 수 있다. 40%
❷ 점 P가 t=1 이외에 운동 방향을 바꾸는 시각을 구할 수 있다. 30%
❸ 그 순간의 가속도를 구할 수 있다. 30%
더 빠른 길 — 속도를 인수분해된 꼴로 놓기

t=1이 v의 근이므로 v=6(t−1)(t−α)로 두고 전개하면 6t²−6(1+α)t+6α. 계수를 비교해 m=−3(1+α), n=6α.
여기에 m+n=−2를 넣으면 −3−3α+6α=−2에서 α=1/3이 한 줄에 나옵니다. 다만 서술형에서는 m, n 값 자체가 40% 배점이므로, 이 방법은 검산용으로 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 운동 방향이 바뀌는 조건을 x=0으로 잡는다
    방향은 속도의 부호입니다. 위치가 0이 되는 것과는 아무 상관이 없습니다. 출발점은 v(1)=0입니다.
  • “그때의 위치가 3″을 속도식 v에 대입한다
    위치 조건은 원래 식 x에 넣습니다. x(1)=2+m+n+3이고, 이 값이 3입니다.
  • 상수항 3을 빠뜨리고 x(1)=2+m+n으로 쓴다
    m+n이 −2가 아니라 −5로 어긋나면서 m, n이 통째로 틀립니다. 답이 이상하면 이 줄부터 확인하세요.
  • t=1을 그대로 답의 시각으로 쓴다
    문제가 요구한 것은 “t=1 이외”의 시각입니다. 인수분해로 얻은 t=1/3을 써야 합니다.
  • 가속도 대신 속도를 계산한다
    a=dv/dt=12t−8입니다. v에 t=1/3을 넣으면 당연히 0이 나오는데, 그 0을 답으로 적는 경우가 많습니다.
  • 서술형인데 근거 문장을 쓰지 않는다
    배점이 단계별입니다. “운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로”, “t=1 이외의 시각은 t=1/3이므로” 같은 한 줄이 곧 점수입니다.

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