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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 방정식과 부등식에의 활용 · 유형 01
0644
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중근과 허근의 조건
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방정식 (1/4)x⁴ − (3/2)x² + 2x + k = 0 이 한 중근과 두 허근을 갖도록 하는 실수 k의 값은?
①−6②−3③0④3⑤6
문제를 읽자마자
출제의도
‘한 중근과 두 허근’ = 교점이 딱 하나이고 거기서 접한다
4차방정식의 근은 모두 네 개입니다. 그중 둘이 허근이라면 실근은 중근 하나뿐, 즉 곡선과 수평선이 만나는 점이 단 한 곳이고 그 점에서 접해야 합니다. 게다가 이 문제의 f′(x)에는 (x−1)²이 들어 있어서 f′(x)=0인 점이 전부 극점은 아닙니다. 접점 후보를 극점으로만 좁힐 수 있느냐가 승부처입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 그림말로 바꾸기
허근은 눈에 보이지 않습니다. 대신 실근이 몇 개인지로 바꿔 읽으세요.
근이 모두 네 개인데 두 개가 허근이면, 남는 실근은 중근 하나. 그러면 곡선 y=(1/4)x⁴−(3/2)x²+2x 와 가로선 y=−k 의 교점은 단 한 점이고, 그 점에서 접해야 합니다.
근이 모두 네 개인데 두 개가 허근이면, 남는 실근은 중근 하나. 그러면 곡선 y=(1/4)x⁴−(3/2)x²+2x 와 가로선 y=−k 의 교점은 단 한 점이고, 그 점에서 접해야 합니다.
힌트 2 — f′(x)=0인 점이 다 극점은 아니다
f′(x)=x³−3x+2를 인수분해하면 (x+2)(x−1)²입니다.
x=1 앞의 인수가 제곱이라는 것은, 그 앞뒤에서 f′의 부호가 바뀌지 않는다는 뜻입니다. 그러면 x=1은 극점이 아니라 잠깐 평평해졌다가 다시 올라가는 자리입니다. 실제로 부호가 바뀌는 곳은 x=−2 하나뿐입니다.
x=1 앞의 인수가 제곱이라는 것은, 그 앞뒤에서 f′의 부호가 바뀌지 않는다는 뜻입니다. 그러면 x=1은 극점이 아니라 잠깐 평평해졌다가 다시 올라가는 자리입니다. 실제로 부호가 바뀌는 곳은 x=−2 하나뿐입니다.
힌트 3 — 두 후보 중 하나 고르기
접선이 수평인 자리는 x=−2(값 −6)와 x=1(값 3/4) 두 곳입니다. 각각에 가로선을 그어 교점 개수를 세어 보세요.
높이 3/4에서는 접하긴 하지만 왼쪽 아래로 내려가는 가지에서 한 번 더 만납니다. 교점이 두 개이므로 탈락. 높이 −6에서는 최솟값 자리라 교점이 하나뿐입니다.
마지막으로 −k = −6 에서 k를 구할 때 부호를 뒤집는 것을 잊지 마세요.
높이 3/4에서는 접하긴 하지만 왼쪽 아래로 내려가는 가지에서 한 번 더 만납니다. 교점이 두 개이므로 탈락. 높이 −6에서는 최솟값 자리라 교점이 하나뿐입니다.
마지막으로 −k = −6 에서 k를 구할 때 부호를 뒤집는 것을 잊지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ k = 6
풀이영상
더 빠른 길 — f′의 인수분해만 보고 개형을 확정한다
f′(x)=(x+2)(x−1)²에서 부호가 바뀌는 점은 x=−2 하나뿐입니다. 즉 이 4차함수는 x=−2까지 내려갔다가 그 뒤로는 계속 올라가기만 하는, 극솟값이 단 하나인 U자형입니다.
이런 모양에서 가로선이 한 점에서만 만나면서 접하는 경우는 최솟값 높이밖에 없습니다. 따라서 −k = f(−2) = −6, 곧 k=6. 증감표의 3/4 칸은 아예 후보에도 오르지 않습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=1을 극점으로 처리한다
(x−1)²처럼 짝수 제곱으로 붙은 인수는 앞뒤에서 f′의 부호를 바꾸지 못합니다. f′(x)=0이라는 사실만으로 극값이라고 단정하지 말고, 증감표에서 부호가 실제로 바뀌는지 확인하세요. -
k = −3/4 도 답 후보에 넣는다
높이 3/4에서는 접점 외에 왼쪽 가지와 한 번 더 만납니다. 그 경우의 근은 삼중근과 또 다른 실근이라 허근이 하나도 없습니다. 접한다고 다 되는 것이 아니라 교점이 하나여야 합니다. -
−k = −6 에서 k = −6 이라고 적는다
상수를 넘길 때 생긴 부호를 마지막에 되돌려야 합니다. 답 ①과 ⑤가 나란히 있는 것은 이 실수를 노린 배치입니다. -
f(−2)를 잘못 계산한다
(1/4)(−2)⁴ − (3/2)(−2)² + 2(−2) = 4 − 6 − 4 = −6. 분수 계수와 음수 대입이 겹치는 자리라 부호 사고가 잦습니다. -
허근이 몇 개인지 세지 않는다
실계수 방정식에서 허근은 켤레끼리 짝을 이뤄 항상 짝수 개입니다. 중근 1개(근으로는 2개) + 허근 2개 = 4개로 총합이 맞는지 확인하면 조건 해석이 옳았는지 검산됩니다.
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