쎈미적분1 0645

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 도함수의 활용

0645
난이도 중
서술형
방정식의 실근의 개수
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쎈 미적분1 0645번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

사차방정식을 상수를 분리해서 곡선과 가로직선의 교점 문제로 바꿔라

3x⁴−8x³−18x²−k=0을 그대로 붙들고 있으면 k가 바뀔 때마다 그래프가 통째로 달라집니다. −k를 우변으로 넘겨 3x⁴−8x³−18x²=k로 만드는 순간 좌변은 고정된 하나의 곡선이 되고, k는 위아래로 움직이는 가로직선이 됩니다. 실근의 개수 = 교점의 개수. 이 문제는 여기서 사실상 끝나고, 남은 일은 증감표와 개수 세기입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
사차방정식을 인수분해하려 하고 있다면 멈추세요. k가 붙어 있는 식은 인수분해되지 않습니다.
k만 한쪽으로 몰아 3x⁴−8x³−18x²=k로 만들면, 문제는 “곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 두 점에서 만나게 하는 k”로 바뀝니다.
힌트 2 — 개형 만들기
f(x)=3x⁴−8x³−18x²이라 하면 f′(x)=12x³−24x²−36x=12x(x+1)(x−3)입니다. x=−1, 0, 3 세 곳에서 극값을 가집니다.
세 값을 직접 계산하세요. f(−1)=−7, f(0)=0, f(3)=−135. 최고차항 계수가 양수인 사차함수이므로 극소 → 극대 → 극소의 W자 개형입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
W자 위로 y=k를 아래에서부터 천천히 올려 보세요. 교점 개수가 1 → 2 → 3 → 4 → 3 → 2로 바뀝니다.
교점이 딱 2개인 구간은 −135<k<−7 또는 k>0 두 군데입니다. 문제가 요구한 것은 이 중 음의 정수이므로 −134부터 −8까지. 마지막에 개수 셀 때 양 끝을 포함해서 세는 것을 잊지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 127

쎈 미적분1 0645번 해설

풀이영상

서술형 채점기준 — 부분점수를 챙기는 순서

① 주어진 방정식을 3x⁴−8x³−18x²=k로 정리 (10%)
② f′(x)=0인 x의 값 −1, 0, 3을 구함 (30%)
③ k의 값의 범위 −135<k<−7 또는 k>0을 구함 (50%)
④ 음의 정수 k의 개수 127을 구함 (10%)
범위를 못 구하겠어도 ①②는 반드시 적으세요. 여기까지만 써도 40%입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • k를 그대로 둔 채 사차함수를 미분한다
    미분하면 k는 어차피 사라지지만, 그래프를 그릴 때 y절편이 k만큼 움직여 개형 판단이 흔들립니다. 상수분리를 먼저 하고 미분하세요.
  • 극값 세 개 중 하나를 계산에서 흘린다
    f(−1)=−7, f(0)=0, f(3)=−135. 특히 f(3)은 243−216−162로 자릿수가 커서 −135 대신 −153, −105 같은 값이 자주 나옵니다. 증감표에 세 값을 다 적고 시작하세요.
  • 경계값 k=0, k=−7, k=−135를 범위에 넣는다
    k=0이면 교점 3개, k=−7이면 3개, k=−135면 1개입니다. 딱 두 점에서 만나야 하므로 세 값 모두 제외, 부등호에 등호를 붙이지 마세요.
  • k>0 쪽 범위를 아예 빼먹는다
    W자의 극댓값 위쪽에서도 교점은 2개입니다. 다만 그 구간에는 음의 정수가 없으므로 답은 같아지는데, 서술형에서는 이 범위를 쓰지 않으면 ③번 배점 50%가 깎입니다.
  • −134부터 −8까지를 126개로 센다
    양 끝을 모두 포함하므로 134−8+1=127입니다. 정수 개수 세기는 항상 (큰 값)−(작은 값)+1로 확인하세요.


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