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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 방정식과 부등식에의 활용 · 유형 01
0643
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구간이 제한된 실근의 개수
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방정식 2x³ + 9x² + k = 0 이 −3 ≤ x ≤ 1 에서 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 k의 개수를 구하시오.
주관식 · 답은 개수
문제를 읽자마자
출제의도
범위가 붙은 순간, 승부는 끝점의 함숫값과 등호에서 갈린다
앞 문제와 골격은 같습니다. 상수를 분리해 곡선과 수평선의 교점 개수로 바꾸면 됩니다. 다만 −3 ≤ x ≤ 1이라는 울타리가 쳐져 있어서, 그래프를 구간 밖까지 그리면 없는 교점을 세게 됩니다. 증감표에 극점뿐 아니라 구간의 양 끝점을 함께 넣는 것이 이 문제의 핵심 동작입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 어느 쪽으로 넘길까
k가 좌변에 +k로 붙어 있습니다. 이걸 넘기면 우변은 k가 아니라 −k가 됩니다.
2x³+9x² = −k 로 두고, 왼쪽은 곡선 y=f(x), 오른쪽은 높이 −k인 가로선으로 보세요. 마지막에 부호를 한 번 더 뒤집어야 한다는 것만 기억해 두면 됩니다.
2x³+9x² = −k 로 두고, 왼쪽은 곡선 y=f(x), 오른쪽은 높이 −k인 가로선으로 보세요. 마지막에 부호를 한 번 더 뒤집어야 한다는 것만 기억해 두면 됩니다.
힌트 2 — 증감표에 끝점을 넣기
f′(x)=6x²+18x=6x(x+3)에서 x=−3, x=0이 나옵니다. 그런데 x=−3은 구간의 왼쪽 끝점이기도 합니다.
표의 칸을 −3 / 0 / 1 세 개로 잡고 함숫값을 채우세요. f(−3)=27, f(0)=0, f(1)=11. 구간 안에서 그래프는 27에서 0까지 내려갔다가 11까지 올라가는 모양입니다.
표의 칸을 −3 / 0 / 1 세 개로 잡고 함숫값을 채우세요. f(−3)=27, f(0)=0, f(1)=11. 구간 안에서 그래프는 27에서 0까지 내려갔다가 11까지 올라가는 모양입니다.
힌트 3 — 등호는 어디에 붙는가
내려가는 구간에서 한 번, 올라가는 구간에서 한 번 만나야 두 점입니다.
높이가 0이면 x=0 한 점에서만 만나므로 탈락, 높이가 11이면 오른쪽 끝 x=1과 왼쪽 감소 구간에서 각각 한 번씩 만나 두 점이 됩니다. 그래서 0 < −k ≤ 11.
여기서 부호를 뒤집어 k의 범위를 만들고, 정수의 개수를 세세요.
높이가 0이면 x=0 한 점에서만 만나므로 탈락, 높이가 11이면 오른쪽 끝 x=1과 왼쪽 감소 구간에서 각각 한 번씩 만나 두 점이 됩니다. 그래서 0 < −k ≤ 11.
여기서 부호를 뒤집어 k의 범위를 만들고, 정수의 개수를 세세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 11 (−11 ≤ k < 0)
풀이영상
부호 실수를 없애는 길 — 문자를 하나 더 두기
−k를 그대로 다루면 부등호 방향에서 사고가 납니다. −k = t 로 두고 먼저 t의 범위 0 < t ≤ 11 을 확정한 뒤, 마지막 한 줄에서만 k = −t 로 되돌리세요.
0 < t 는 −11 ≤ k 가 아니라 k < 0 으로, t ≤ 11 은 −11 ≤ k 로 바뀝니다. 부등호가 뒤집히는 지점을 한 곳에 몰아 두면 검산도 쉬워집니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
−k를 k로 착각한다
0 < −k ≤ 11 을 그대로 답으로 읽어 정수 11개를 1~11로 잡는 오답이 가장 많습니다. 반드시 −1을 곱해 −11 ≤ k < 0 으로 바꾸고, 부등호 방향도 함께 뒤집으세요. -
구간 밖까지 그래프를 그려 교점을 더 센다
x < −3 이나 x > 1 쪽은 애초에 답이 될 수 없습니다. 그림을 그릴 때 구간 양 끝에 세로 점선을 먼저 긋고 그 안쪽만 실선으로 그리세요. -
끝점을 증감표에 넣지 않는다
f(1)=11이라는 값이 없으면 위쪽 경계를 잡을 수 없습니다. 범위가 주어진 문제는 극점 + 양 끝점을 모두 표에 올리는 것이 규칙입니다. -
등호를 반대로 붙인다
높이 0에서는 접점 하나뿐이라 제외(등호 없음), 높이 11에서는 끝점과 감소 구간에서 두 점이라 포함(등호 있음). 경계값 두 개는 반드시 그림에 직접 대 보고 개수를 세세요. -
정수를 세면서 양 끝을 빠뜨린다
−11부터 −1까지는 10개가 아니라 11개입니다. (큰 값)−(작은 값)+1로 확인하는 습관을 들이세요. -
k의 값을 답으로 적는다
문제가 요구한 것은 범위가 아니라 그 안에 든 정수의 개수입니다.
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