쎈미적분1 0642

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쎈수학 미적분Ⅰ · 06 방정식과 부등식에의 활용 · 유형 01

0642
대표 문제
방정식 f(x)=k의 실근의 개수
풀이영상 있음

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방정식 3x⁴ − 8x³ − 6x² + 24x − k = 0 이 한 중근과 서로 다른 두 개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 k의 값의 합은?

①18②19③20④21⑤22

문제를 읽자마자

출제의도

‘중근’을 접한다로 번역해서, 수평선 y=k의 높이를 극값에서 고르라는 문제

4차방정식의 근을 직접 구할 방법은 없습니다. 상수 k만 따로 떼어 y=3x⁴−8x³−6x²+24x 와 y=k 로 나누는 순간, “근의 개수” 문제는 “교점의 개수” 문제로 바뀝니다. 그리고 중근은 곧 접점이므로, 접하는 수평선의 높이는 반드시 극값 중 하나입니다. 여기까지 오면 계산은 증감표 하나로 끝납니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 식을 둘로 쪼개기
4차식을 인수분해하려 하고 있다면 멈추세요. k가 미지수인 채로는 인수분해가 되지 않습니다.
−k만 오른쪽으로 넘기면 좌변에는 k가 없는 함수 하나, 우변에는 상수 하나만 남습니다. 이 모양을 만드세요.
힌트 2 — 접하는 높이는 정해져 있다
가로선 y=k가 곡선과 접하려면 그 점에서 접선이 수평이어야 하고, 그런 점은 f′(x)=0인 점뿐입니다.
f′(x)=12x³−24x²−12x+24를 12(x+1)(x−1)(x−2)로 묶으면 후보 x가 세 개 나옵니다. 각각의 함숫값을 구해 두세요. 그 세 값이 k의 후보 전부입니다.
힌트 3 — 후보를 걸러내기
후보 세 개를 모두 답으로 넣으면 안 됩니다. 문제가 요구한 것은 접점 1개 + 접점이 아닌 서로 다른 두 점, 즉 교점이 모두 세 개여야 한다는 조건입니다.
극솟값 −19 높이에 선을 그으면 교점이 몇 개인가요? 그림에서 세어 보면 하나가 탈락합니다. 그리고 마지막에 묻는 것은 k의 값이 아니라 모든 k의 합입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  8 + 13 = 21

쎈 미적분1 0642번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 값보다 위아래 관계만 본다

극값 세 개는 순서대로 극소 −19, 극대 13, 극소 8입니다. 최고차항이 양수인 4차함수이므로 그래프는 내려갔다 올라갔다 다시 내려갔다 올라가는 W 모양입니다.
가장 낮은 극소 −19 높이에 선을 그으면 그 점에서 접하고 오른쪽에서 한 번만 더 만나므로 교점이 2개뿐 → 탈락. 나머지 두 높이(13, 8)는 접점 1개 + 다른 두 점이 됩니다. 계산 없이 개형만으로 후보를 거를 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 중근을 판별식으로 처리하려 든다
    판별식은 2차방정식의 도구입니다. 3차 이상에서 중근이 보이면 반사적으로 “그래프가 접한다”로 바꿔 읽으세요.
  • k=−19까지 답에 포함시킨다
    가장 낮은 극솟값 높이에서는 접점 말고 만나는 점이 하나뿐입니다. 조건은 ‘서로 다른 두 개’이므로 개수를 반드시 세어 확인하세요.
  • −k를 넘기면서 부호를 놓친다
    좌변에 −k가 붙어 있으므로 이항하면 y=k입니다. y=−k로 잘못 두면 후보 부호가 통째로 뒤집힙니다.
  • 극값 계산에서 부호를 흘린다
    f(−1)=3+8−6−24=−19, f(1)=3−8−6+24=13, f(2)=48−64−24+48=8. 짝수 차수 항에 음수를 대입할 때가 가장 위험합니다.
  • k 하나만 구하고 멈춘다
    묻는 것은 ‘모든 실수 k의 값의 합’입니다. 조건을 만족하는 k가 두 개라는 사실을 확인하고 더하세요.


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