쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법
0072
난이도 상
역함수의 극한
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역함수의 극한
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문제를 확인했다면
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문제를 읽자마자
출제의도
역함수를 구하지 말고, 변수를 바꿔서 극한을 계산하라는 문제
f(x)=4x³+2x는 3차식이라 역함수 식을 손으로 뽑아낼 수 없습니다. 출제자는 처음부터 그걸 알고 냈습니다. y=f⁻¹(x)로 두고 x=f(y)로 뒤집는 치환이 이 문제의 전부이고, 나머지는 약분입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
f⁻¹(x)의 식을 직접 구하려 하고 있다면 멈추세요. 4x³+2x=y를 x에 대해 푸는 건 이 시험 범위에서 할 일이 아닙니다.
f⁻¹(x)=y로 놓으면 이 식은 어떤 모양으로 바뀌나요?
f⁻¹(x)=y로 놓으면 이 식은 어떤 모양으로 바뀌나요?
힌트 2 — 뒤집기
y=f⁻¹(x)는 곧 x=f(y)=4y³+2y입니다. 이제 분모의 5x를 y로 전부 바꿔 쓸 수 있습니다.
단, 극한 변수도 함께 바뀌어야 합니다. x→0일 때 y는 어디로 갈까요? f(0)=0이라는 점을 쓰세요.
단, 극한 변수도 함께 바뀌어야 합니다. x→0일 때 y는 어디로 갈까요? f(0)=0이라는 점을 쓰세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
식이 y / {5(4y³+2y)} 꼴이 되었나요? 분모를 10y(2y²+1)로 묶으면 y가 약분됩니다.
그리고 값을 구한 뒤에, 문제가 물은 것이 p/q가 아니라 pq라는 걸 다시 확인하세요.
그리고 값을 구한 뒤에, 문제가 물은 것이 p/q가 아니라 pq라는 걸 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 ② pq = 10
더 빠른 길 — 역함수 미분법
f(0)=0이므로 f⁻¹(0)=0입니다. f′(x)=12x²+2에서 f′(0)=2이므로 (f⁻¹)′(0)=1/f′(0)=1/2.
주어진 극한은 (1/5)·limx→0 {f⁻¹(x)−f⁻¹(0)} / (x−0) = (1/5)×(1/2) = 1/10. 치환 없이 두 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
역함수 식을 직접 구하려 든다
3차식의 역함수는 나오지 않습니다. 역함수가 보이면 “구한다”가 아니라 “x=f(y)로 뒤집는다”가 기본 반응이어야 합니다. -
x→0일 때 y→0을 확인하지 않고 넘어간다
치환하면 극한 변수도 반드시 따라 바뀝니다. f(0)=0 ⟹ f⁻¹(0)=0이라는 한 줄이 근거입니다. 서술형에서 이 줄이 빠지면 감점 대상입니다. -
1/10까지 구하고 멈춘다
구한 값은 p/q입니다. 문제가 요구한 것은 pq. p=1, q=10을 따로 적고 나서 곱하세요. -
p, q가 서로소인지 확인하지 않는다
약분이 덜 된 상태로 p, q를 잡으면 pq 값이 통째로 달라집니다. 기약분수로 만든 뒤 값을 읽으세요. -
분모의 5를 중간에 흘린다
치환하면서 5x → 5(4y³+2y)로 옮겨 적을 때 5가 자주 사라집니다. 답이 1/2로 나왔다면 이 경우입니다.
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