쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0606
난이도 중
최대·최소의 활용; 거리
서술형
풀이영상 있음
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최대·최소의 활용; 거리
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
움직이는 점을 문자 하나로 놓아, 거리 문제를 4차함수의 최솟값 문제로 바꿔라
P가 곡선 위를 움직인다는 조건은 “P의 좌표는 (t, t²−2) 하나로 정해진다”는 뜻입니다. 게다가 묻는 것이 거리가 아니라 거리의 제곱이라 근호가 남지 않고, 그대로 t에 대한 다항함수가 됩니다. 여기까지가 서술형 채점기준 ❶(40%)이고, 미분해서 최솟값을 확정하는 것이 ❷(60%)입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 변수부터 하나로
P는 곡선 y=x²−2 위의 점입니다. x좌표를 t라 두면 y좌표는 자동으로 정해집니다.
P(t, t²−2)로 놓고, A(0, −3), B(10, −3)과의 거리의 제곱을 각각 써 보세요. 세로 차이는 (t²−2)−(−3)=t²+1입니다.
P(t, t²−2)로 놓고, A(0, −3), B(10, −3)과의 거리의 제곱을 각각 써 보세요. 세로 차이는 (t²−2)−(−3)=t²+1입니다.
힌트 2 — 정리하면 4차함수
AP²=t²+(t²+1)², BP²=(t−10)²+(t²+1)². 더해서 전개하면 f(t)=2t⁴+6t²−20t+102가 됩니다.
계수가 커 보여도 겁먹지 마세요. 최고차항이 양수인 4차함수이므로 최솟값은 반드시 존재합니다.
계수가 커 보여도 겁먹지 마세요. 최고차항이 양수인 4차함수이므로 최솟값은 반드시 존재합니다.
힌트 3 — 3차식 인수분해와 근거 한 줄
f′(t)=8t³+12t−20=4(2t³+3t−5). t=1을 넣으면 0이므로 4(t−1)(2t²+2t+5)로 인수분해됩니다.
남은 2t²+2t+5는 2(t+½)²+9/2>0이라 실근이 없습니다. 이 한 줄을 반드시 적어야 t=1이 유일한 극값임이 정당화됩니다. 증감표를 그리고 f(1)을 계산하세요.
남은 2t²+2t+5는 2(t+½)²+9/2>0이라 실근이 없습니다. 이 한 줄을 반드시 적어야 t=1이 유일한 극값임이 정당화됩니다. 증감표를 그리고 f(1)을 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 90
풀이영상
계산을 줄이는 길 — 중선정리(파푸스 정리)
A, B의 중점 M(5, −3)을 잡으면 AP²+BP²=2PM²+½AB²=2PM²+50입니다. 즉 PM²만 최소로 만들면 됩니다.
PM²=(t−5)²+(t²+1)²=t⁴+3t²−10t+26이고, 미분하면 2(t−1)(2t²+2t+5)이라 역시 t=1에서 최소. 값은 20이므로 2×20+50=90. 전개할 항이 절반으로 줄어듭니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
거리 공식에 근호를 씌워 놓고 시작한다
묻는 것은 AP²+BP²입니다. 처음부터 제곱된 형태로 쓰면 근호가 등장할 일이 없습니다. 근호를 쓴 순간 미분이 감당 못 할 식이 됩니다. -
세로 길이를 t²−2로 그대로 쓴다
A와 B의 y좌표가 −3입니다. 차이는 (t²−2)−(−3)=t²+1. 부호 하나 때문에 4차함수의 계수가 전부 달라집니다. -
2t²+2t+5>0의 근거를 적지 않는다
서술형에서 가장 자주 깎이는 지점입니다. 판별식 D/4=1−10<0 또는 2(t+½)²+9/2>0 중 하나를 반드시 명시하세요. -
증감표 없이 “극값이니까 최솟값”으로 넘어간다
4차함수는 극값이 여럿일 수 있습니다. f′의 부호가 −에서 +로 한 번만 바뀐다는 것을 표로 보여야 최소가 확정됩니다. -
t=1을 답으로 적는다
구하라고 한 것은 최솟값입니다. t=1은 최솟값을 주는 위치일 뿐, 답은 f(1)=90입니다. -
f(1) 계산에서 상수항 102를 흘린다
2+6−20+102=90. 항이 네 개라 암산하면 자주 틀립니다. 한 줄로 적어 놓고 더하세요.