쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0605
대표문제
최대·최소의 활용 ; 길이
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
움직이는 점을 문자 하나로 잡고, 거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만든다
P가 y=x² 위를 움직이므로 좌표는 (t, t²) 한 문자로 표현됩니다. 거리 공식을 그대로 쓰면 근호 안에 사차식이 들어가 미분이 지저분해지므로, 근호 안의 식을 f(t)로 두고 그것을 최소화하는 것이 정석입니다. 도형·거리 문제를 함수의 최솟값 문제로 번역하는 유형의 대표문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 미지수를 하나로 줄이기
P는 곡선 y=x² 위의 점이므로 x좌표를 t라 하면 y좌표는 자동으로 t²입니다. 즉 P(t, t²).
이제 두 점 (t, t²)과 (3, 0) 사이의 거리를 t에 대한 식으로 써 보세요. 미지수는 t 하나뿐입니다.
이제 두 점 (t, t²)과 (3, 0) 사이의 거리를 t에 대한 식으로 써 보세요. 미지수는 t 하나뿐입니다.
힌트 2 — 근호를 벗겨 놓고 시작
거리는 √{(t−3)²+t⁴}입니다. 근호가 있는 채로 미분하지 마세요.
근호 안이 항상 0 이상이므로 거리가 최소 ⟺ 근호 안이 최소입니다. f(t)=t⁴+t²−6t+9로 두고 이 함수의 최솟값을 찾으면 됩니다.
근호 안이 항상 0 이상이므로 거리가 최소 ⟺ 근호 안이 최소입니다. f(t)=t⁴+t²−6t+9로 두고 이 함수의 최솟값을 찾으면 됩니다.
힌트 3 — 삼차식의 인수 하나만 찾기
f′(t)=4t³+2t−6=2(2t³+t−3)입니다. t=1을 넣으면 0이 되므로 (t−1)로 나누어집니다.
f′(t)=2(t−1)(2t²+2t+3)이고, 2t²+2t+3=2(t+½)²+5/2>0이므로 부호를 정하는 것은 (t−1)뿐입니다. 마지막에 구한 값이 f(1)인지 √{f(1)}인지를 확인하세요.
f′(t)=2(t−1)(2t²+2t+3)이고, 2t²+2t+3=2(t+½)²+5/2>0이므로 부호를 정하는 것은 (t−1)뿐입니다. 마지막에 구한 값이 f(1)인지 √{f(1)}인지를 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② 최솟값 = √5
풀이영상
더 빠른 길 — 최단거리는 법선 위에 있다
거리가 최소인 점 P에서는 직선 P(3, 0)이 곡선의 접선과 수직입니다. P(t, t²)에서 접선의 기울기는 2t이고 직선 P(3, 0)의 기울기는 (t²−0)/(t−3)이므로 2t·t²/(t−3)=−1.
정리하면 2t³+t−3=0, 즉 (t−1)(2t²+2t+3)=0에서 t=1. 미분해서 얻은 f′(t)=0과 같은 식이 나옵니다. 검산용으로 쓰기 좋습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(1)=5를 그대로 답으로 적는다
5는 거리의 제곱입니다. 문제가 물은 것은 거리이므로 √5. 근호를 벗겨 놓고 시작했다면 마지막에 반드시 다시 씌우세요. ③ √6이 아니라 ② √5입니다. -
P의 좌표를 (t, y)처럼 두 문자로 잡는다
곡선 위의 점이라는 조건이 y=t²을 보장합니다. 문자를 둘로 두면 미분할 대상이 사라집니다. “곡선 위의 점 = 문자 하나”가 기본 반응이어야 합니다. -
2t²+2t+3의 부호를 확인하지 않고 넘어간다
판별식 D/4=1−6<0 또는 완전제곱 2(t+½)²+5/2>0으로 항상 양수임을 밝혀야 t=1이 유일한 극점이 됩니다. 서술형에서 이 한 줄이 빠지면 감점입니다. -
(t²)²을 t³으로 쓴다
거리의 제곱은 (t−3)²+(t²)²=(t−3)²+t⁴입니다. 지수를 잘못 쓰면 f′(t)가 삼차식이 아니게 되어 인수분해부터 막힙니다. -
구간이 없는데 끝값을 찾으려 한다
t의 범위는 실수 전체입니다. 감소 후 증가하는 모양이므로 극솟값이 곧 최솟값입니다. 증감표의 양 끝은 숫자가 아니라 점 세 개(…)로 두세요.
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