쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0604
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극값 조건과 최대·최소
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출제의도
조건 ㈎로 모양을 확정하고, 조건 ㈏로 높이를 확정한다
미지수가 a, b, c 세 개인데 조건은 두 줄뿐입니다. 그래서 순서가 정해져 있습니다. 극값 조건 f′(−2)=f′(0)=0은 a, b만 결정하고, c는 그래프를 위아래로 평행이동시키는 값이라 최댓값 조건으로 마지막에 잡습니다. 상수항을 문자로 끌고 가면서 증감표를 쓸 수 있는지를 묻는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 극값 조건을 식으로 바꾸기
“x=−2, x=0에서 극값을 갖는다”는 곧 f′(−2)=0이고 f′(0)=0이라는 뜻입니다.
f′(x)=3x²+2ax+b에 두 값을 넣으면 미지수 두 개짜리 연립방정식이 생깁니다. c는 미분하면 사라지므로 여기서는 등장하지 않습니다.
f′(x)=3x²+2ax+b에 두 값을 넣으면 미지수 두 개짜리 연립방정식이 생깁니다. c는 미분하면 사라지므로 여기서는 등장하지 않습니다.
힌트 2 — c는 남겨 둔 채로 증감표
a=3, b=0을 얻었다면 f(x)=x³+3x²+c입니다. 구간 [−3, 2]의 증감표를 c를 그대로 둔 채 만드세요.
필요한 값은 f(−3), f(−2), f(0), f(2) 네 개입니다. 각각 c에 무엇을 더한 꼴인가요?
필요한 값은 f(−3), f(−2), f(0), f(2) 네 개입니다. 각각 c에 무엇을 더한 꼴인가요?
힌트 3 — 최댓값으로 c를 잡고, 최솟값을 다시 읽기
f(−3)=c, f(−2)=c+4, f(0)=c, f(2)=c+20이므로 최댓값은 c+20입니다. c+20=19에서 c=−1.
이제 최솟값을 물었으니 가장 작은 값을 다시 고르세요. 최솟값은 x=−3과 x=0 두 곳에서 동시에 나타납니다.
이제 최솟값을 물었으니 가장 작은 값을 다시 고르세요. 최솟값은 x=−3과 x=0 두 곳에서 동시에 나타납니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ 최솟값 = −1
풀이영상
더 빠른 길 — 근과 계수의 관계로 a, b 잡기
f′(x)=3x²+2ax+b=0의 두 근이 −2와 0이므로 합은 −2+0=−2=−2a/3에서 a=3, 곱은 (−2)·0=0=b/3에서 b=0.
대입 두 번 대신 한 줄로 끝납니다. 또 f(x)=x³+3x²+c는 y=x³+3x²를 c만큼 위로 옮긴 것이므로, 최댓값−최솟값=20이라는 차이는 c와 무관하다는 점도 함께 기억해 두면 유용합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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극댓값·극솟값과 최댓값·최솟값을 같은 것으로 본다
극댓값은 f(−2)=c+4이지만 최댓값은 끝값 f(2)=c+20입니다. 구간이 주어진 순간 끝값을 표에 반드시 함께 올려야 합니다. -
c를 구하지 않은 채 최솟값을 고른다
최솟값은 c이고 c=−1이라는 계산이 있어야 −1이 나옵니다. 조건 ㈏를 쓰지 않고 답을 고르면 무조건 틀립니다. -
f(−3)과 f(0)이 같다는 사실에 당황한다
둘 다 c로 같습니다. 최솟값을 갖는 x가 두 개여도 아무 문제 없습니다. 최솟값은 값 하나, 그 값을 갖는 x는 여러 개일 수 있습니다. -
f′(0)=0에서 b를 구하지 않고 넘어간다
f′(0)=b이므로 b=0이 즉시 나옵니다. 이 값을 먼저 확정해야 12−4a+b=0이 12−4a=0, a=3으로 깔끔하게 풀립니다. -
f(−3) 계산에서 부호를 흘린다
f(−3)=(−27)+3·9+c=−27+27+c=c입니다. (−3)³을 27로 쓰면 최솟값이 통째로 달라집니다.
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