쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0607
유형 20 대표문제
최대·최소의 활용; 넓이
풀이영상 있음
유형 20 대표문제
최대·최소의 활용; 넓이
풀이영상 있음
먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
그림을 그리고, 대칭을 이용해 직사각형을 문자 하나로 표현하라
도형의 최대·최소는 언제나 두 단계입니다. ① 움직이는 것을 문자 하나로 잡고 넓이를 식으로 쓴다 ② 미분해서 최댓값을 찾는다. 이 문제의 승부처는 ①입니다. y=4−x²이 y축 대칭이라는 것을 쓰면 꼭짓점 하나만 (a, 0)으로 잡아도 직사각형 전체가 결정됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림부터, 그리고 대칭
포물선 y=4−x²과 x축이 만나는 점은 (−2, 0), (2, 0)입니다. 여기에 한 변이 x축 위에 있는 직사각형을 그려 보세요.
곡선이 y축 대칭이므로 내접하는 직사각형도 y축 대칭입니다. 오른쪽 아래 꼭짓점을 (a, 0), 0<a<2로 잡으면 나머지 세 점이 저절로 정해집니다.
곡선이 y축 대칭이므로 내접하는 직사각형도 y축 대칭입니다. 오른쪽 아래 꼭짓점을 (a, 0), 0<a<2로 잡으면 나머지 세 점이 저절로 정해집니다.
힌트 2 — 가로와 세로
위쪽 두 꼭짓점은 곡선 위에 있으므로 y좌표가 4−a². 즉 세로=4−a²입니다.
가로는 a가 아니라 2a(−a부터 a까지)입니다. 넓이 S(a)=2a(4−a²)=−2a³+8a로 정리하세요.
가로는 a가 아니라 2a(−a부터 a까지)입니다. 넓이 S(a)=2a(4−a²)=−2a³+8a로 정리하세요.
힌트 3 — 무리수 값 대입
S′(a)=−6a²+8=−2(3a²−4)=0에서 a²=4/3, 0<a<2이므로 a=2√3/3(=2/√3).
대입할 때 a²=4/3을 그대로 쓰는 게 편합니다. 4−a²=8/3이므로 S=2·(2√3/3)·(8/3). 분모끼리 곱해 9가 나오는지 확인하세요.
대입할 때 a²=4/3을 그대로 쓰는 게 편합니다. 4−a²=8/3이므로 S=2·(2√3/3)·(8/3). 분모끼리 곱해 9가 나오는지 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ 32√3 / 9
풀이영상
선지로 먼저 걸러내기 — 실전용 감각
답이 모두 √3 꼴이라는 것 자체가 힌트입니다. a²=4/3처럼 3이 분모에 오는 값이 답이라는 뜻이니, S′(a)=0을 푼 순간 계산 방향이 맞는지 확인할 수 있습니다.
또 a=1을 넣으면 S=6≈6.0, 답 후보들은 각각 약 5.0, 5.4, 5.8, 6.2, 6.5이므로 최댓값은 6보다 조금 큰 ④ 또는 ⑤로 좁혀집니다. 시간이 없을 때 쓰는 마지막 수단으로 기억해 두세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
가로를 2a가 아니라 a로 잡는다
이 문제에서 가장 많이 나오는 오답입니다. 답이 정확히 절반인 16√3/9가 나왔다면 여기입니다. 그림에 −a와 a를 직접 써넣으세요. -
a의 범위 0<a<2를 쓰지 않는다
a²=4/3에서 a=±2√3/3이 나옵니다. 음수를 버리는 근거가 범위입니다. 문자를 놓는 그 줄에서 범위까지 같이 적는 습관을 들이세요. -
2/√3을 그대로 둔다
유리화하면 2√3/3입니다. 선지가 √3/9 꼴로 정리되어 있으므로, 유리화하지 않으면 어느 선지와도 모양이 맞지 않아 헤매게 됩니다. -
a 값을 답으로 적는다
구하는 것은 넓이의 최댓값입니다. a=2√3/3까지 구한 뒤 반드시 S(a)에 대입하는 한 줄이 더 필요합니다. -
증감표 없이 극대=최대로 단정한다
여기서는 0<a<2에서 극대가 하나뿐이라 최대가 맞지만, 그 사실은 증감표가 보여 주는 것입니다. 서술형이라면 표가 빠지면 감점입니다. -
세로를 4−a²이 아니라 4로 본다
4는 포물선의 꼭짓점 높이일 뿐, 직사각형의 세로가 아닙니다. 위쪽 꼭짓점이 곡선 위에 있다는 조건을 다시 확인하세요.