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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 함수의 최대·최소
0599
난이도 상
합성함수의 최솟값
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합성함수의 최솟값
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문제를 읽자마자
출제의도
g의 최솟값을 f에 넣는 게 아니다 — g의 치역이 곧 t의 범위라는 문제
(f∘g)(x)=f(g(x))이므로 f에 들어가는 입력은 g가 만들어 내는 값들 전체입니다. g(x)=(x−2)²−1의 치역은 t≥−1이고, 문제는 곧바로 “t≥−1에서 t³−3t+4의 최솟값”으로 바뀝니다. 안쪽 함수의 최솟값 −1을 그대로 f에 대입해 f(−1)=6을 답하는 것이 이 문제의 대표 오답이며, 출제자는 t=−1이 f′=0인 자리라는 점까지 이용해 그 함정을 강화했습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 합성을 전개하지 않기
g(x)를 f에 그대로 대입해 정리하면 6차식이 됩니다. 미분해도 5차식이라 손을 댈 수 없습니다.
대신 g(x)=t로 한 글자로 묶으세요. 그 순간 구해야 할 것은 f(t)=t³−3t+4의 최솟값이 됩니다. 남은 질문은 하나, “t는 어떤 값들이 될 수 있나?”
대신 g(x)=t로 한 글자로 묶으세요. 그 순간 구해야 할 것은 f(t)=t³−3t+4의 최솟값이 됩니다. 남은 질문은 하나, “t는 어떤 값들이 될 수 있나?”
힌트 2 — t의 범위 = g의 치역
x의 범위에 제한이 없으므로 t의 범위는 g의 치역 전체입니다. g(x)=x²−4x+3=(x−2)²−1이므로 t≥−1.
여기서부터는 x를 잊어도 됩니다. 문제는 “t≥−1에서 f(t)=t³−3t+4의 최솟값“으로 완전히 바뀌었습니다.
여기서부터는 x를 잊어도 됩니다. 문제는 “t≥−1에서 f(t)=t³−3t+4의 최솟값“으로 완전히 바뀌었습니다.
힌트 3 — 경계인가, 극점인가
f′(t)=3t²−3=3(t+1)(t−1)이므로 t=−1과 t=1이 임계점이고, 둘 다 범위와 관련됩니다. t=−1은 범위의 왼쪽 끝, t=1은 범위 안쪽입니다.
t≥−1에서 f는 t=1까지 감소하고 그 뒤 증가합니다. f(−1)과 f(1) 중 어느 쪽이 최솟값일지는 이 증감만 보면 정해집니다.
t≥−1에서 f는 t=1까지 감소하고 그 뒤 증가합니다. f(−1)과 f(1) 중 어느 쪽이 최솟값일지는 이 증감만 보면 정해집니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 2 t=1에서 최솟값
풀이영상
확인 — 왜 t의 범위가 답의 존재 근거인가
만약 t를 실수 전체로 두면 t→−∞에서 t³−3t+4→−∞이므로 최솟값 자체가 없습니다. 최솟값이 존재한다는 사실이 곧 t≥−1이라는 제한 덕분이라는 뜻입니다.
서술형이라면 “g(x)=(x−2)²−1≥−1이므로 t≥−1” 한 줄을 반드시 써야 이후 계산이 근거를 얻습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
g의 최솟값 −1을 f에 대입해 6을 답한다
안쪽 함수가 최소가 되는 지점이 합성함수를 최소로 만들지는 않습니다. f가 t=−1 부근에서 감소하고 있기 때문입니다. 이 문제의 대표 오답입니다. -
t의 범위를 적지 않고 실수 전체에서 극솟값을 찾는다
값은 우연히 같아도 논리는 틀립니다. 실수 전체에서는 최솟값이 존재하지 않습니다. t≥−1이 답이 존재하는 이유입니다. -
f∘g와 g∘f를 뒤집는다
(f∘g)(x)=f(g(x))입니다. 안쪽이 g, 바깥이 f. 순서를 바꾸면 치역도 결론도 전부 달라집니다. -
t=−1에서 f′(−1)=0이라 극대라고 판단하고 끝낸다
t=−1은 범위의 경계이면서 임계점입니다. 경계에서는 극대·극소를 따지는 것이 아니라 그 오른쪽 증감만 보면 됩니다. t=−1부터 t=1까지 감소이므로 최솟값은 t=1 쪽입니다. -
합성함수를 전개해서 풀려고 한다
6차식이 나오고 시간만 잃습니다. 합성함수의 최대·최소는 “안쪽의 치역 → 바깥 함수의 증감” 두 단계로 고정해 두세요.
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