쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 18 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정
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대표문제
최대·최소와 미정계수
풀이영상 있음
대표문제
최대·최소와 미정계수
풀이영상 있음
문제 조건 · 본책 97쪽
닫힌구간 [0, 4]에서 삼차함수 f(x) = −x³ + 27x + k 의 최댓값과 최솟값을 더하면 50이다.
→ 상수 k의 값을 구하시오.
먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
k를 끝까지 달고 증감표를 한 번만 쓰면 끝나는 문제
k는 상수항이므로 그래프를 위아래로 평행이동시킬 뿐입니다. 극값의 위치도, 어느 지점이 최대·최소가 되는지도 k와 무관하게 이미 정해져 있고, 값에만 k가 붙습니다. 그래서 증감표를 k를 붙인 채 한 번 쓰면 조건식은 k에 대한 일차방정식이 됩니다. 출제자가 보려는 것은 “닫힌구간의 최대·최소 = 극값과 양 끝점 값의 비교”라는 원칙 하나입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 후보를 먼저 세운다
f′(x) = −3x² + 27 = −3(x+3)(x−3)이므로 f′(x)=0의 해는 x=−3, x=3입니다.
이 중 구간 [0, 4] 안에 들어오는 것은 하나뿐입니다. 어느 쪽인가요? 구간 밖의 해는 증감표에 아예 쓰지 않습니다.
이 중 구간 [0, 4] 안에 들어오는 것은 하나뿐입니다. 어느 쪽인가요? 구간 밖의 해는 증감표에 아예 쓰지 않습니다.
힌트 2 — 세 값을 k와 함께 계산
닫힌구간의 최대·최소 후보는 양 끝점 f(0), f(4)와 구간 내부의 극값 f(3), 이렇게 세 개입니다.
k를 그대로 둔 채 세 값을 계산해 보세요. f(0)=k, f(3)=k+54, f(4)=k+44가 나오면 정상입니다.
k를 그대로 둔 채 세 값을 계산해 보세요. f(0)=k, f(3)=k+54, f(4)=k+44가 나오면 정상입니다.
힌트 3 — 어느 것이 최소인가
세 값 모두 k가 공통으로 붙어 있으므로 0, 54, 44만 비교하면 대소가 그대로 보입니다.
최댓값은 k+54, 최솟값은 k입니다. 이제 (k+54) + k = 50 이라는 일차방정식을 풀면 됩니다.
최댓값은 k+54, 최솟값은 k입니다. 이제 (k+54) + k = 50 이라는 일차방정식을 풀면 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 k = −2
풀이영상
더 빠른 길 — k를 떼어놓고 본다
g(x) = −x³ + 27x 로 두면 f(x) = g(x) + k 입니다. 구간 [0, 4]에서 g의 최댓값은 g(3)=54, 최솟값은 g(0)=0.
평행이동은 최대·최소가 나오는 지점을 바꾸지 않으므로 f의 최댓값은 54+k, 최솟값은 0+k. 합이 54+2k=50에서 k=−2. 증감표에 k를 끌고 다니지 않아도 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x = −3까지 증감표에 넣는다
f′(x)=0의 해를 모두 쓰는 것이 아니라, 주어진 구간 안에 있는 해만 씁니다. [0, 4]에 −3은 없습니다. 구간이 붙은 문제는 해를 구한 직후 구간 검사를 습관으로 하세요. -
감소구간의 오른쪽 끝 f(4)를 최솟값으로 본다
x=3 이후 감소한다고 해서 f(4)가 가장 작은 것은 아닙니다. 출발점이 높았기 때문에 k+44는 여전히 k보다 큽니다. 증감의 방향이 아니라 값을 비교해야 합니다. -
극값만 보고 끝점을 빼먹는다
닫힌구간에서 최대·최소의 후보는 언제나 ‘극값 + 양 끝점’입니다. 이 문제의 최솟값은 극값이 아니라 왼쪽 끝점에서 나옵니다. -
k를 나중에 대입하려고 미룬다
k를 뺀 채 계산하고 마지막에 더하려다 한쪽에만 k를 빠뜨리는 경우가 많습니다. 증감표 칸에 처음부터 k를 적어 넣는 편이 안전합니다. -
구한 최댓값·최솟값을 답으로 적는다
문제가 요구한 것은 k입니다. k+54나 52를 답으로 쓰지 않도록, 마지막에 문제의 마지막 문장을 다시 읽으세요.