쎈미적분1 0598

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 함수의 최대·최소

0598
난이도 상
치환과 t의 범위
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0598번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

치환은 쉽고 t의 범위가 어렵다 — 범위 밖의 극값을 답으로 쓰게 만드는 문제

x²−6x+8이 두 번 반복되므로 t로 놓는 것은 누구나 합니다. 승부는 그다음입니다. t³−12t+1의 극대점은 t=−2인데, 2≤x≤5에서 t가 가질 수 있는 값에 −2는 들어 있지 않습니다. 출제자는 t의 범위를 건너뛴 학생이 극댓값을 최댓값으로 쓰도록 숫자를 배치해 두었습니다. 이 문제의 절반은 t의 범위 구하기입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 전개하지 않기
괄호를 풀면 6차식이 됩니다. 그 길은 출제자가 의도한 길이 아닙니다.
반복되는 덩어리 x²−6x+8을 t로 놓으면 식은 t³−12t+1이라는 3차식이 됩니다. 여기까지는 절반입니다. 나머지 절반은 “그 t가 어디부터 어디까지인가”입니다.
힌트 2 — t의 범위
t=x²−6x+8=(x−3)²−1이고 구간은 2≤x≤5입니다. 꼭짓점 x=3이 구간 안에 들어 있다는 점이 핵심입니다.
양 끝만 대입하면 안 됩니다. 최솟값은 꼭짓점에서, 최댓값은 두 끝 중 먼 쪽에서 나옵니다. t의 범위를 부등식으로 적어 보세요.
힌트 3 — 후보는 세 개뿐
−1≤t≤3입니다. g(t)=t³−12t+1에서 g′(t)=3t²−12=3(t+2)(t−2)이므로 임계점은 t=−2와 t=2. 이 중 범위 안에 남는 것은 t=2 하나뿐입니다.
따라서 확인할 값은 t=−1, 2, 3 세 개. 최댓값과 최솟값을 고른 뒤, 문제가 물은 것이 “두 값의 합”이라는 걸 다시 보세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ②  최댓값 12 + 최솟값 (−15) = −3

쎈 미적분1 0598번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 후보 세 개 대입으로 끝내기

범위 −1≤t≤3이 나온 순간, 최대·최소가 생길 수 있는 자리는 양 끝(t=−1, 3)과 범위 안 임계점(t=2)뿐입니다. 증감표를 완성하지 않아도 g(−1)=12, g(2)=−15, g(3)=−8 세 값만 계산하면 답이 나옵니다.
t=−2는 g′(t)=0을 만족하지만 존재하지 않는 t이므로 후보 목록에 올리지 않는 것이 이 문제의 전부입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • t의 범위를 구하지 않고 실수 전체에서 극값만 찾는다
    그러면 t=−2에서 극댓값 17이 나와 최댓값으로 잡히고 답이 통째로 달라집니다. 치환한 순간 “새 변수의 범위”를 적는 것이 규칙입니다.
  • 양 끝만 대입해 t의 범위를 0≤t≤3으로 잡는다
    t=(x−3)²−1의 꼭짓점 x=3이 구간 [2, 5] 안에 있습니다. 최솟값은 t=−1이고, x=2일 때의 t=0은 범위의 끝이 아닙니다.
  • t가 최대일 때 f도 최대라고 생각한다
    g(t)=t³−12t+1은 t에 대해 단조가 아닙니다. t=3에서 g=−8, t=−1에서 g=12로 오히려 뒤집힙니다. t의 최대·최소와 f의 최대·최소는 별개입니다.
  • 증감표를 t 전체 구간으로 그린다
    표의 양 끝은 −1과 3이어야 합니다. −2를 표 안에 넣는 순간 존재하지 않는 값을 후보로 만들게 됩니다.
  • 최댓값·최솟값만 구하고 멈춘다
    묻는 것은 두 값의 합입니다. 12와 −15를 따로 적어 두고 더하세요. 부호를 놓치면 27이 됩니다.


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