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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 13 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건
0582
난이도 하
k의 최솟값
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난이도 하
k의 최솟값
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함수 f(x) = x³ + x² + 2kx + 1이 극값을 갖지 않도록 하는 실수 k의 최솟값을 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
범위를 구하는 데서 멈추지 말고 경계값까지 답하라는 문제
앞 문제와 조건은 완전히 같습니다. 달라진 것은 물음뿐입니다. D ≤ 0을 풀면 k의 범위가 나오는데, 문제가 요구한 것은 그 범위의 최솟값입니다. 이때 경계값이 범위에 포함되는지가 곧 답의 존재 여부를 결정하므로, 등호 처리가 계산보다 중요합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 번역
“극값을 갖지 않는다”를 도함수의 언어로 바꾸세요. f′(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 합니다.
즉 판별식이 0 이하입니다. 여기까지는 앞 문제와 똑같습니다.
즉 판별식이 0 이하입니다. 여기까지는 앞 문제와 똑같습니다.
힌트 2 — 도함수와 판별식
f′(x) = 3x² + 2x + 2k입니다. 2kx를 미분하면 k가 아니라 2k입니다.
D/4 = (b/2)² − ac = 1² − 3·2k = 1 − 6k. 이제 1 − 6k ≤ 0을 푸세요.
D/4 = (b/2)² − ac = 1² − 3·2k = 1 − 6k. 이제 1 − 6k ≤ 0을 푸세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
1 − 6k ≤ 0에서 양변을 −6으로 나눌 때 부등호가 뒤집힙니다. k ≥ 1/6.
그리고 문제가 물은 것은 범위가 아니라 최솟값입니다. k = 1/6이 조건을 만족하는지 직접 확인한 뒤에 답을 쓰세요.
그리고 문제가 물은 것은 범위가 아니라 최솟값입니다. k = 1/6이 조건을 만족하는지 직접 확인한 뒤에 답을 쓰세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 1/6
풀이영상
경계값 확인 — k = 1/6을 직접 대입해 보기
k = 1/6일 때 f′(x) = 3x² + 2x + 1/3 = 3(x + 1/3)² 입니다. 모든 x에서 f′(x) ≥ 0이고 x = −1/3에서만 0이 되므로 f는 증가함수이며 극값이 없습니다. 경계값이 조건을 만족하는 것이 확인되었으니 최솟값은 1/6입니다. 이렇게 대입해 확인하는 한 줄이 등호 실수를 막아 줍니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
2kx를 미분해서 k로 쓴다
f′(x) = 3x² + 2x + 2k입니다. k로 쓰면 D/4 = 1 − 3k가 되어 답이 1/3로 잘못 나옵니다. -
부등호를 뒤집지 않는다
1 − 6k ≤ 0 → −6k ≤ −1 → k ≥ 1/6. 음수로 나누는 순간 방향이 바뀝니다. k ≤ 1/6으로 두면 최솟값이 아예 존재하지 않게 됩니다. -
k = 1/6을 제외한다
중근이면 도함수의 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 없습니다. 경계값이 조건을 만족하기 때문에 최솟값이 존재하는 것입니다. -
범위만 쓰고 끝낸다
k ≥ 1/6까지 구하고 답란에 그대로 옮기면 오답입니다. 물음은 최솟값 하나입니다. -
D/4에서 b/2를 잘못 잡는다
b = 2이므로 b/2 = 1입니다. b를 그대로 넣어 4 − 24k로 계산하면 값은 같은 부호가 나오지만 중간 계산이 흔들립니다. 짝수 공식을 쓸 때 무엇을 절반으로 하는지 정확히 기억하세요.
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