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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 13 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건
0583
난이도 중
α² + β² 구하기
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α² + β² 구하기
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함수 f(x) = (4/3)x³ + (a+3)x² − ax + 1이 극값을 갖지 않도록 하는 실수 a의 값의 범위는 α ≤ a ≤ β이다. 이때 α² + β²의 값은?
① 40② 58③ 68
④ 74⑤ 82
문제를 읽자마자
출제의도
같은 조건에 부호 함정과 뒷계산을 얹은 문제
조건은 여전히 D ≤ 0 하나입니다. 난이도를 올린 장치는 세 개입니다. 첫째, 계수에 분수 4/3이 있어 미분에서 흔들립니다. 둘째, 상수항이 −a여서 판별식에서 부호가 한 번 꼬입니다. 셋째, 범위를 구한 뒤 α와 β를 올바르게 대응시켜 제곱의 합까지 계산해야 합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 도함수부터 정확히
(4/3)x³을 미분하면 (4/3)·3x² = 4x²입니다. 분수가 사라지는 것을 눈으로 확인하세요.
f′(x) = 4x² + 2(a+3)x − a. 여기까지 정확하면 나머지는 앞의 두 문제와 같은 절차입니다.
f′(x) = 4x² + 2(a+3)x − a. 여기까지 정확하면 나머지는 앞의 두 문제와 같은 절차입니다.
힌트 2 — 판별식의 부호
D/4 = (b/2)² − ac에서 b/2 = a+3, 그리고 c = −a입니다.
따라서 D/4 = (a+3)² − 4·(−a) = (a+3)² + 4a. 뺄셈이 아니라 덧셈이 되는 이유를 스스로 설명할 수 있어야 합니다.
따라서 D/4 = (a+3)² − 4·(−a) = (a+3)² + 4a. 뺄셈이 아니라 덧셈이 되는 이유를 스스로 설명할 수 있어야 합니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
(a+3)² + 4a ≤ 0을 전개하면 a² + 10a + 9 ≤ 0, 인수분해하면 (a+1)(a+9) ≤ 0이므로 −9 ≤ a ≤ −1.
α ≤ a ≤ β와 짝지을 때 α는 작은 쪽입니다. 그리고 답은 α² + β²이므로 제곱하면서 음수 부호가 사라지는 것까지 확인하세요.
α ≤ a ≤ β와 짝지을 때 α는 작은 쪽입니다. 그리고 답은 α² + β²이므로 제곱하면서 음수 부호가 사라지는 것까지 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ 82
풀이영상
검산 한 번 — 경계에서 중근이 나오는지 보기
a = −1이면 f′(x) = 4x² + 4x + 1 = (2x+1)², a = −9이면 f′(x) = 4x² − 12x + 9 = (2x−3)²입니다. 두 경우 모두 완전제곱이므로 도함수가 부호를 바꾸지 않고 극값이 없습니다. 구한 구간의 양 끝에서 중근이 나오는지 확인하는 것이 이 유형의 가장 빠른 검산법입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(4/3)x³의 미분을 틀린다
4/3 × 3 = 4이므로 4x²입니다. (4/3)x²로 쓰면 판별식 계산 전체가 어긋납니다. -
c = −a의 부호를 놓친다
상수항이 −a이므로 −ac = −4·(−a) = +4a입니다. (a+3)² − 4a로 계산하면 a² + 2a + 9 ≤ 0이 되어 해가 없다는 결론에 이릅니다. -
α와 β를 바꿔 놓는다
α ≤ a ≤ β에서 α는 왼쪽 끝, 즉 −9입니다. 인수분해 결과 (a+1)(a+9)의 순서대로 α = −1이라고 적는 실수가 잦습니다. 이 문제는 제곱의 합을 묻기 때문에 결과가 같아 보이지만, 합이나 차를 묻는 문제에서는 바로 틀립니다. -
제곱에서 부호를 남긴다
(−9)² + (−1)² = 81 + 1 = 82입니다. −81처럼 부호를 끌고 가면 선택지에 없는 값이 나옵니다. -
등호 없는 부등호로 푼다
중근도 극값이 없는 경우이므로 (a+1)(a+9) ≤ 0입니다. 등호를 빼면 α, β 자체가 정의되지 않습니다.
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