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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 13 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건
0581
대표 문제
극값을 갖지 않을 조건
풀이영상 있음
대표 문제
극값을 갖지 않을 조건
풀이영상 있음
함수 f(x) = −2x³ + ax² + ax가 극값을 갖지 않도록 하는 실수 a의 값의 범위를 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
“극값이 없다”를 판별식 D ≤ 0 한 줄로 번역하는 문제
삼차함수는 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때만 극대·극소가 생깁니다. 그래서 극값이 없다는 말은 f′(x)=0이 중근 또는 허근을 갖는다는 말과 같고, 곧 D ≤ 0입니다. 이 유형의 대표 문제답게 계산은 두 줄이며, 채점자가 보는 것은 등호를 챙겼는지와 미분을 정확히 했는지 두 가지입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
그래프를 그려 보려 하지 마세요. 삼차함수의 극값은 도함수가 부호를 바꾸는 지점에서만 생깁니다.
그렇다면 극값이 아예 없다는 것은 f′(x)=0의 실근이 어떤 상태라는 뜻일까요? “서로 다른 두 실근이 아니다”를 근의 상태로 다시 말해 보세요.
그렇다면 극값이 아예 없다는 것은 f′(x)=0의 실근이 어떤 상태라는 뜻일까요? “서로 다른 두 실근이 아니다”를 근의 상태로 다시 말해 보세요.
힌트 2 — 도함수 구하기
f′(x) = −6x² + 2ax + a입니다. ax²와 ax를 각각 미분해서 2ax와 a가 나오는 것을 확인하세요.
이제 이차방정식 −6x² + 2ax + a = 0의 판별식을 세우면 됩니다. 짝수 공식 D/4 = (b/2)² − ac를 쓰는 편이 빠릅니다.
이제 이차방정식 −6x² + 2ax + a = 0의 판별식을 세우면 됩니다. 짝수 공식 D/4 = (b/2)² − ac를 쓰는 편이 빠릅니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
D/4 = a² − (−6)·a = a² + 6a이고, 조건은 D/4 ≤ 0입니다.
a(a+6) ≤ 0은 두 근 −6과 0 사이의 구간입니다. 그리고 등호를 뺄지 말지 한 번 더 생각하세요 — 중근이면 극값이 생기나요?
a(a+6) ≤ 0은 두 근 −6과 0 사이의 구간입니다. 그리고 등호를 뺄지 말지 한 번 더 생각하세요 — 중근이면 극값이 생기나요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −6 ≤ a ≤ 0
풀이영상
같은 답을 다른 말로 — 항상 감소하는 함수
f′(x)의 최고차항 계수가 −6 < 0이므로 f′(x)는 위로 볼록한 포물선입니다. 극값이 없다는 것은 f′(x) ≤ 0이 모든 x에서 성립한다는 것, 즉 f가 감소함수라는 뜻입니다. 포물선이 x축 위로 올라오지 않는 조건이 그대로 D ≤ 0이므로 결과는 같습니다. "극값 없음 = 항상 증가 또는 항상 감소"로 기억해 두면 서술형에서 근거 한 줄을 더 쓸 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
D < 0으로 잡는다
중근일 때는 f′(x)가 한 점에서 0이 되지만 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 생기지 않습니다. 조건에 등호가 반드시 들어갑니다. D ≤ 0. -
ax를 미분에서 흘린다
f′(x) = −6x² + 2ax + a에서 마지막 항 a가 자주 사라집니다. a가 빠지면 판별식이 a²만 남아 답이 a = 0 하나로 잘못 나옵니다. -
최고차항이 음수라서 부등호를 뒤집는다
판별식 조건은 계수의 부호와 무관합니다. “실근이 두 개가 아니다”는 언제나 D ≤ 0입니다. -
a(a+6) ≤ 0을 잘못 푼다
두 수의 곱이 0 이하라는 것은 두 근 사이라는 뜻입니다. a ≤ 0 또는 a ≤ −6 같은 합집합 형태로 쓰지 않도록 수직선에 −6과 0을 찍고 확인하세요. -
D/4에서 −6의 부호를 놓친다
D/4 = (b/2)² − ac에서 a = −6, c = a이므로 −(−6)·a = +6a입니다. a² − 6a로 계산하면 0 ≤ a ≤ 6이라는 엉뚱한 답이 나옵니다.
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