쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 05 함수의 극대·극소
0546
난이도 하
극값의 개수
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난이도 하
극값의 개수
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함수 f(x)=−x4+6x2+8x−10의 극댓값의 개수를 a, 극솟값의 개수를 b라 할 때, a+2b의 값은?
① 1② 2③ 3④ 4⑤ 5
문제를 읽자마자
출제의도
f′(x)=0의 근의 개수와 극값의 개수는 다르다
난이도 하로 표시되어 있지만, 이 단원에서 가장 많이 틀리는 지점을 정확히 겨냥한 문제입니다. 도함수를 인수분해하면 제곱 인수가 나오고, 그 근에서는 f′의 부호가 바뀌지 않아 극값이 생기지 않습니다. 근을 세는 문제가 아니라 부호 변화를 세는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 삼차식 인수분해
f′(x)=−4x3+12x+8입니다. 삼차식이니 먼저 −4로 묶고 x3−3x−2 꼴로 만드세요.
x=−1을 대입하면 0이 됩니다. 조립제법으로 (x+1)을 한 번 나눠 보고, 몫에서 다시 x=−1이 되는지 확인하세요.
x=−1을 대입하면 0이 됩니다. 조립제법으로 (x+1)을 한 번 나눠 보고, 몫에서 다시 x=−1이 되는지 확인하세요.
힌트 2 — 제곱 인수를 발견했다면
f′(x)=−4(x+1)2(x−2)입니다. f′(x)=0인 x는 −1과 2, 두 개죠.
여기서 바로 “극값 2개”로 넘어가면 안 됩니다. (x+1)2은 x가 −1이 아닌 한 항상 양수입니다. 그렇다면 f′의 부호를 결정하는 건 무엇일까요?
여기서 바로 “극값 2개”로 넘어가면 안 됩니다. (x+1)2은 x가 −1이 아닌 한 항상 양수입니다. 그렇다면 f′의 부호를 결정하는 건 무엇일까요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′의 부호는 −4(x−2), 즉 x<2에서 양수, x>2에서 음수입니다. x=−1의 좌우에서는 둘 다 양수라 부호가 그대로입니다.
양 → 음으로 바뀌는 곳이 하나뿐이라면 극댓값은 몇 개, 극솟값은 몇 개인가요? a와 b를 정한 뒤 a+2b를 계산하세요.
양 → 음으로 바뀌는 곳이 하나뿐이라면 극댓값은 몇 개, 극솟값은 몇 개인가요? a와 b를 정한 뒤 a+2b를 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① a=1, b=0 → a+2b = 1
풀이영상
더 빠른 길 — 인수의 차수만 본다
f′(x)=−4(x+1)2(x−2)에서 지수가 홀수인 인수의 근에서만 부호가 바뀝니다. (x+1)은 2제곱이라 통과, (x−2)만 부호를 뒤집습니다.
따라서 극값은 x=2 하나. 최고차항 계수가 음수인 사차함수는 오른쪽 끝에서 내려가므로 그 하나는 극대입니다. 함숫값 f(2)는 끝까지 계산할 필요가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(x)=0의 근 개수를 그대로 극값 개수로 센다
근 2개 → a=1, b=1 → 답 3(③)이 이 문제의 대표 오답입니다. 근을 구한 다음에는 반드시 좌우 부호를 확인하세요. -
(x+1)2을 (x+1)로 잘못 인수분해한다
−4x3+12x+8은 (x+1)로 두 번 나누어떨어집니다. 조립제법을 한 번만 하고 멈추면 제곱을 놓칩니다. -
앞의 −4를 빠뜨린다
부호가 통째로 뒤집혀 x=2에서 극소라는 결론이 나옵니다. 그러면 a=0, b=1로 답이 ②가 됩니다. 계수의 부호는 증가·감소를 결정하는 정보입니다. -
a, b를 x값으로 오해한다
문제는 “극댓값의 개수”와 “극솟값의 개수”를 묻습니다. x=2를 a에 넣으면 안 됩니다. 개수는 0 또는 1처럼 작은 수로 나옵니다. -
극댓값 f(2)를 계산하느라 시간을 쓴다
이 문제는 값이 아니라 개수만 묻습니다. 무엇을 묻는지 먼저 확인하면 계산 자체가 필요 없다는 걸 알 수 있습니다.
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