쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 05 함수의 극대·극소
0548
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모든 극값의 합
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함수 f(x)=3x4−4x3−12x2+3의 모든 극값의 합은?
① −31② −28③ −23④ −18⑤ −12
문제를 읽자마자
출제의도
극값이 세 개인 사차함수 — 하나도 빠뜨리지 말고 다 더하라
앞의 0546이 “제곱 인수 때문에 극값이 줄어드는” 경우였다면, 이 문제는 반대로 세 근이 모두 단순근이라 극값이 세 개 다 살아납니다. 요령은 없고, f′을 정확히 인수분해한 뒤 함숫값 세 개를 흘리지 않고 계산하는 정확도가 전부입니다. 극대·극소를 구분하지 않아도 합은 같다는 점도 알아 두세요.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조립제법을 꺼내기 전에
f′(x)=12x3−12x2−24x입니다. 상수항이 없죠?
삼차식이라고 바로 조립제법으로 가지 마세요. 공통인수 12x를 먼저 묶으면 남는 것은 이차식뿐입니다.
삼차식이라고 바로 조립제법으로 가지 마세요. 공통인수 12x를 먼저 묶으면 남는 것은 이차식뿐입니다.
힌트 2 — 근 세 개
12x(x2−x−2)=12x(x+1)(x−2)이므로 f′(x)=0에서 x=−1, 0, 2.
세 인수가 모두 1제곱이므로 세 곳 전부에서 부호가 바뀝니다. 즉 극값은 세 개. 최고차항 계수가 양수이니 부호는 왼쪽부터 −, +, −, + 순입니다.
세 인수가 모두 1제곱이므로 세 곳 전부에서 부호가 바뀝니다. 즉 극값은 세 개. 최고차항 계수가 양수이니 부호는 왼쪽부터 −, +, −, + 순입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
이제 f(−1), f(0), f(2)를 각각 계산해서 더하면 끝입니다.
f(2)에서 특히 조심하세요. 3·24=48, −4·23=−32, −12·22=−48, 여기에 +3. 항마다 값을 따로 적고 마지막에 한 번만 더하세요.
f(2)에서 특히 조심하세요. 3·24=48, −4·23=−32, −12·22=−48, 여기에 +3. 항마다 값을 따로 적고 마지막에 한 번만 더하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② (−2) + 3 + (−29) = −28
풀이영상
시간을 줄이는 길 — 극대·극소 구분을 미룬다
“모든 극값의 합”만 물었으므로 어느 것이 극대인지 극소인지는 답에 영향을 주지 않습니다. f′(x)=0의 세 근이 모두 단순근임만 확인했다면, 곧바로 f(−1)+f(0)+f(2)를 계산하면 됩니다.
단, 표를 아예 그리지 않는 건 위험합니다. 제곱 인수가 섞여 있으면 그 근은 합에서 빼야 하기 때문입니다. 인수의 차수만 훑고 넘어가세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=0을 근으로 세지 않는다
12x3−12x2−24x=0을 x로 나눠 버리면 x=0이 사라집니다. 극값 f(0)=3이 빠져 −31(①)이 나옵니다. 나누지 말고 묶으세요. -
f(2)를 −29가 아닌 값으로 계산한다
48−32−48+3=−29. 3·24을 3·2·4=24로 계산하는 실수가 가장 흔합니다. 거듭제곱을 먼저, 계수는 나중에. -
극댓값만 더한다
“모든 극값”은 극댓값과 극솟값을 전부 뜻합니다. 3만 답하거나 극솟값 −2와 −29만 더하면 안 됩니다. -
극값의 합을 x값의 합으로 착각한다
−1+0+2=1은 극값을 갖는 x의 합일 뿐입니다. 더해야 하는 것은 함숫값입니다. -
부호표를 건너뛴다
이 문제는 세 근이 모두 단순근이라 운 좋게 그냥 더해도 맞습니다. 하지만 바로 앞 0546처럼 제곱 인수가 나오는 순간 그 습관이 오답이 됩니다. 표는 30초면 그립니다.
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